1. Какова высота прямоугольного треугольника, если она делит гипотенузу на отрезки длиной 49 и 169? Каковы длины

Задача 1:
Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Пусть высота треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 49 и 169. Обозначим длины катетов треугольника как \(x\) и \(y\). Тогда получаем следующее:

\[x^2 + 49^2 = y^2\]
\[y^2 + 169^2 = (x+y)^2\]

Давайте решим эти уравнения по очереди:

\[x^2 + 2401 = y^2\]
\[y^2 + 28561 = (x+y)^2\]

Раскроем скобки во втором уравнении:

\[y^2 + 28561 = x^2 + 2xy + y^2\]

Теперь упростим это уравнение, выразив \(x\) через \(y\):

\[28561 = x^2 + 2xy\]
\[28561 = x(x + 2y)\]
\[x + 2y = \frac{28561}{x}\]
\[x = \frac{28561}{x} - 2y\]

Теперь подставим это значение \(x\) в первое уравнение:

\[\left(\frac{28561}{x} - 2y\right)^2 + 2401 = y^2\]
\[\frac{812060321}{x^2} - \frac{4 \cdot 28561y}{x} + 4y^2 + 2401 = y^2\]
\[\frac{812060321}{x^2} - \frac{4 \cdot 28561y}{x} + 4y^2 + 2401 - y^2 = 0\]

Мы получили квадратное уравнение относительно \(y\). Решим его, используя дискриминант:

\[a = 4, b = -\frac{4 \cdot 28561}{x}, c = 812060321 - 2401\]

\[D = b^2 - 4ac = \left(-\frac{4 \cdot 28561}{x}\right)^2 - 4 \cdot 4 \cdot y^2 \cdot (812060321 - 2401)\]
\[D = \frac{16 \cdot 812060321}{x^2} - 4 \cdot 4 \cdot y^2 \cdot 812056920\]

Если мы хотим, чтобы высота была решением задачи, то дискриминант \(D\) должен равняться нулю. Подставим \(D = 0\) и решим уравнение для \(x\):

\[\frac{16 \cdot 812060321}{x^2} - 4 \cdot 4 \cdot y^2 \cdot 812056920 = 0\]
\[\frac{16 \cdot 812060321}{x^2} = 4 \cdot 4 \cdot y^2 \cdot 812056920\]
\[x^2 = \frac{16 \cdot 812060321}{4 \cdot 4 \cdot y^2 \cdot 812056920}\]
\[x^2 = \frac{812060321}{16 \cdot y^2}\]
\[x = \sqrt{\frac{812060321}{16 \cdot y^2}}\]
\[x = \frac{\sqrt{812060321}}{4y}\]

Таким образом, мы получаем высоту треугольника равной \(\frac{\sqrt{812060321}}{4y}\), а длины катетов равны \(x\) и \(y\).

Задача 2:
В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы \(c\) связана с длинами катетов \(a\) и \(b\) следующим образом: \(c^2 = a^2 + b^2\). Длина проекции \(p\) одного из катетов на гипотенузу связана с этим катетом и гипотенузой следующим образом: \(\frac{p}{c} = \frac{a}{b}\).

Для данной задачи известно, что один катет равен 6, а его проекция на гипотенузу равна 3. Обозначим длину гипотенузы как \(c\). Тогда получаем следующее:

\[6^2 + 3^2 = c^2\]
\[36 + 9 = c^2\]
\[45 = c^2\]
\[c = \sqrt{45}\]
\[c = 3\sqrt{5}\]

Таким образом, длина гипотенузы равна \(3\sqrt{5}\).

Теперь, используя известные значения длины катета (6) и проекции (3), мы можем найти длину другого катета \(a\):

\[\frac{p}{c} = \frac{a}{b}\]
\[\frac{3}{3\sqrt{5}} = \frac{6}{b}\]
\[\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{6}{b}\]
\[b = \frac{6}{\frac{1}{\sqrt{5}}}\]
\[b = 6\sqrt{5}\]

Таким образом, длина второго катета равна \(6\sqrt{5}\).

Задача 3:
Для вывода новой формулы, используемой в разделе 65 на странице 147, нам необходимы сами формулы из этого раздела. Указано, что формулы заданы выраженными через \(\alpha\) и \(\beta\), поэтому мы можем предположить, что это углы.

Предположим, что у нас есть две формулы вида:

\[F_1(\alpha, \beta) = \text{{выражение}}_1\]
\[F_2(\alpha, \beta) = \text{{выражение}}_2\]

Тогда мы можем вывести новую формулу, комбинируя эти две:

\[F(\alpha, \beta) = F_1(\alpha, \beta)\cdot F_2(\alpha, \beta)\]

Теперь, решим полученное уравнение с использованием указанных формул:

\[F(\alpha, \beta) = \left(\text{{выражение}}_1\right) \cdot \left(\text{{выражение}}_2\right)\]

Если предоставлены конкретные формулы или выражения из задачницы, пожалуйста, предоставьте их, чтобы я мог сделать более точный расчет и решение задачи.