1. Какова высота пирамиды Хеопса, если тень от её вершины попала в 70 шагах от подножия и была одинаково удалена

Задача 1:
Для решения этой задачи мы можем использовать подобие треугольников. Давайте обозначим высоту пирамиды Хеопса как \(h\) и длину тени вершины пирамиды как \(s\).

Из условия задачи, мы знаем, что тень от вершины пирамиды попала в 70 шагах от ее подножия и была одинаково удалена от двух углов пирамиды. Это означает, что у нас есть два подобных треугольника: треугольник, образованный вершиной пирамиды, ее тенью и подножием пирамиды, и треугольник, образованный пирамидой, ее тенью и пунктом, где тень попала на землю (70 шагов от подножия пирамиды).

Таким образом, мы можем записать следующее пропорциональное соотношение между сторонами этих двух подобных треугольников:

\[
\frac{{s}}{{h}} = \frac{{s+70}}{{h + 230}}
\]

Решим это уравнение:

\[
s(h+230) = (s+70)h
\]
\[
sh + 230s = sh + 70h
\]
\[
230s = 70h
\]
\[
h = \frac{{230s}}{{70}}
\]

Теперь мы знаем, что высота пирамиды \(h\) равна \(\frac{{230s}}{{70}}\).

Вторая часть задачи говорит нам, что тень от посоха человека была на треть больше высоты посоха и он был воткнут недалеко от пирамиды. Таким образом, длина тени посоха равна \(\frac{{4h}}{{3}}\).

Мы также знаем, что пирамида имеет квадратное основание со стороной 230 шагов. Таким образом, у нас есть квадрат со стороной 230 шагов, и пирамида является его вертикальной проекцией.

Теперь у нас есть достаточно информации, чтобы найти значение высоты пирамиды.

Задача 2:
Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать подобие треугольников. Давайте обозначим высоту дерева как \(h\) и расстояние от человека до столба как \(d\).

Из условия задачи, мы знаем, что человек вышел на 10 метров от столба и увидел, что верхушка дерева была "закрыта" столбом. Таким образом, у нас есть подобие треугольников: треугольник, образованный человеком, вершиной дерева и вершиной столба, и треугольник, образованный деревом, его вершиной и столбом.

Мы можем записать пропорцию, используя подобие треугольников:

\[
\frac{{h}}{{d}} = \frac{{h+2}}{{d+10}}
\]

Теперь решим это уравнение:

\[
h(d+10) = (h+2)d
\]
\[
hd + 10h = hd + 2d
\]
\[
10h - 2d = 0
\]
\[
5h - d = 0
\]
\[
5h = d
\]
\[
h = \frac{{d}}{{5}}
\]

Таким образом, мы можем сказать, что высота дерева \(h\) равна \(\frac{{d}}{{5}}\).

Учитывая вышеизложенное, высота дерева будет равна \(\frac{{d}}{{5}}\).