1. Какова высота параллелограмма, если его площадь равна 36 см², а периметр - 36 см? Какая сторона параллелограмма

1. Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулами для площади и периметра параллелограмма.

Периметр параллелограмма \(P\) равен сумме длин всех его сторон. По условию задачи, периметр равен 36 см. Так как параллелограмм имеет две пары равных сторон, обозначим длину одной из этих сторон через \(a\). Тогда периметр можно выразить следующим образом: \(P = 2a + 2b\), где \(b\) - вторая сторона параллелограмма.

Также для нахождения площади параллелограмма \(S\) воспользуемся формулой \(S = a \cdot h\), где \(h\) - высота параллелограмма.

Из условия задачи известно, что площадь равна 36 см²: \(S = 36\) и периметр равен 36 см: \(P = 36\).

Для начала найдем величину одной стороны \(a\):
\[2a + 2b = P \Rightarrow 2a + 2b = 36 \Rightarrow a + b = 18 \Rightarrow b = 18 - a\]

Заметим, что сторона, являющаяся основанием для высоты, в параллелограмме равна высоте. Поэтому мы можем заменить высоту \(h\) на \(a\).

Теперь используем формулу для вычисления площади параллелограмма, подставив известные значения:
\[S = a \cdot h \Rightarrow 36 = a \cdot a \Rightarrow a^2 = 36 \Rightarrow a = 6 \quad \text{см}\]

Так как стороны параллелограмма образуют две пары равных отрезков, вторая сторона будет равна: \(b = 18 - 6 = 12 \quad \text{см}\).

Итак, высота параллелограмма равна 6 см. Основание, являющееся высотой, также равно 6 см. Вторая сторона параллелограмма равна 12 см.

2. Для нахождения площади ромба воспользуемся формулой \(S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\), где \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали ромба.

Если высота ромба на 1,1 см меньше его стороны, то можно записать \(h = a - 1,1\), где \(h\) - высота, а \(a\) - сторона ромба.

Зная, что периметр равен 40 см, можно записать \(4a = 40\) и выразить сторону ромба \(a\): \(a = \frac{40}{4} = 10\) см.

Теперь найдем высоту ромба: \(h = a - 1,1 = 10 - 1,1 = 8,9\) см.

Для вычисления площади осталось найти значения диагоналей \(d_1\) и \(d_2\). В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам.

Так как диагонали делят ромб на прямоугольные треугольники, можно использовать теорему Пифагора \(d_1^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\) и \(d_2^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\).

Подставляем известные значения и находим диагонали:
\[d_1^2 = 8,9^2 + \left(\frac{10}{2}\right)^2 \Rightarrow d_1^2 = 79,21 + 25 = 104,21 \Rightarrow d_1 = \sqrt{104,21} \approx 10,21 \, \text{см}\]
\[d_2^2 = 8,9^2 + \left(\frac{10}{2}\right)^2 \Rightarrow d_2^2 = 79,21 + 25 = 104,21 \Rightarrow d_2 = \sqrt{104,21} \approx 10,21 \, \text{см}\]

Теперь, используя формулу для площади ромба, мы можем вычислить площадь:
\[S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{10,21 \cdot 10,21}{2} = \frac{104,2441}{2} \approx 52,12 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь ромба составляет примерно 52,12 квадратных сантиметра.

3. Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника, которая задается по формуле \(S = \frac{a \cdot h}{2}\), где \(a\) - длины сторон треугольника, \(h\) - высоты, проведенной к соответствующей стороне.

Из условия задачи известны длины сторон и высоты треугольника:
Стороны треугольника: \(a_1 = 7,8\) дм, \(a_2 = 5\) дм, \(a_3 = 10\) дм
Высота треугольника: \(h_1 = 9\) дм, \(h_2 = 6\) дм, \(h_3 = 11\) дм

Теперь можем подставить значения в формулу и вычислить площадь каждого треугольника:
\[S_1 = \frac{a_1 \cdot h_1}{2} = \frac{7,8 \cdot 9}{2} = \frac{70,2}{2} = 35,1 \, \text{дм}^2\]
\[S_2 = \frac{a_2 \cdot h_2}{2} = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15 \, \text{дм}^2\]
\[S_3 = \frac{a_3 \cdot h_3}{2} = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55 \, \text{дм}^2\]

Таким образом, площадь треугольника со сторонами 7,8 дм, 5 дм и 10 дм равна 35,1 квадратным дециметрам, а площадь треугольника со сторонами 5 дм, 5 дм и 9 дм равна 15 квадратным дециметрам, а площадь треугольника со сторонами 10 дм, 10 дм и 9 дм равна 55 квадратным дециметрам.