1. Какова вероятность того, что случайно выбранная точка, брошенная на единичный круг, будет находиться на расстоянии

1. Для решения данной задачи используем геометрическую вероятность.

Единичный круг может быть представлен как окружность радиусом 1 с центром в начале координат. Теперь нам нужно определить площадь сектора, в котором находятся все точки, находящиеся на расстоянии менее 0,1 от края круга.

Для этого можно взять разность площадей двух кругов: круга с радиусом 1 (весь круг) и круга с радиусом 1-0,1 (круг радиусом 0,9). Вычислим площади кругов:

\[S_{полный} = \pi \cdot r_{полный}^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi\]
\[S_{меньший} = \pi \cdot r_{меньший}^2 = \pi \cdot (1-0,1)^2 = \pi \cdot 0,9^2 = 0,81\pi\]

Тогда площадь сектора, в котором находятся точки на расстоянии менее 0,1 от края, будет равна разности площадей:

\[S_{сектор} = S_{полный} - S_{меньший} = \pi - 0,81\pi = 0,19\pi\]

Теперь найдем общую площадь единичного круга:

\[S_{полный} = \pi \cdot r_{полный}^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi\]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка окажется на расстоянии менее 0,1 от края, равна отношению площади сектора к общей площади круга:

\[P = \frac{S_{сектор}}{S_{полный}} = \frac{0,19\pi}{\pi} = 0,19\]

Ответ: вероятность того, что случайно выбранная точка находится на расстоянии менее 0,1 от края, равна 0,19 или 19%.

2. Для решения данной задачи мы можем использовать формулу условной вероятности.

Обозначим события:
А - бомба сброшена с первого самолета,
В - цель поражена одной бомбой.

Требуется найти вероятность события А при условии события В.

Вероятность попадания для первого самолета составляет 0,3. Тогда вероятность события "бомба сброшена с первого самолета" и "цель поражена одной бомбой" будет равна произведению вероятностей:

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,3 \cdot 0,4 = 0,12\]

Теперь найдем вероятность того, что цель поражена одной бомбой:

\[P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)\]

Где \(\bar{A}\) обозначает отрицание события А (бомба не сброшена с первого самолета).

Выразим P(\(\bar{A} \cap B\)):

\[P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0,4 - 0,12 = 0,28\]

Теперь найдем требуемую вероятность:

\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,12}{0,4} = 0,3\]

Ответ: вероятность того, что бомба была сброшена с первого самолета, при условии что цель поражена одной бомбой, составляет 0,3 или 30%.

3.5. Для решения данной задачи мы можем использовать формулу условной вероятности.

Обозначим события:
А - набранный номер верный,
В - последние две цифры набраны правильно.

Требуется найти вероятность события А при условии события В.

Для начала посчитаем количество всех возможных комбинаций последних двух цифр. В данном случае это 90 (числа от 10 до 99). Теперь найдем количество верных комбинаций, которые соответствуют условию, что последние две цифры различны.

Количество верных комбинаций будет равно 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45.

Тогда вероятность события "набранный номер верный" и "последние две цифры набраны правильно" будет равна отношению количества верных комбинаций к количеству всех возможных комбинаций:

\[P(A \cap B) = \frac{45}{90} = 0,5\]

Теперь найдем вероятность того, что последние две цифры набраны правильно:

\[P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)\]

Где \(\bar{A}\) обозначает отрицание события А (набранный номер неверный).

Выразим P(\(\bar{A} \cap B\)):

\[P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 1 - 0,5 = 0,5\]

Теперь найдем требуемую вероятность:

\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,5}{1} = 0,5\]

Ответ: вероятность того, что набранный номер верный, при условии что последние две цифры набраны правильно, составляет 0,5 или 50%.