1) Какова вероятность того, что на концерт пойдут 3 юноши и 2 девушки из студенческой группы, состоящей из 15 юношей

Предоставлю подробное решение для каждой задачи:

1) Для решения данной задачи мы используем комбинаторику и принцип умножения. Итак, у нас есть 15 юношей и 10 девушек в группе, из которых нужно выбрать 3 юношей и 2 девушки.

Количество способов выбрать 3 юношей из 15 равно \(\binom{15}{3}\), а количество способов выбрать 2 девушки из 10 равно \(\binom{10}{2}\). В обоих случаях мы используем формулу биномиального коэффициента, которая определяется так:

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).

Теперь мы можем рассчитать вероятность. Общее количество возможных исходов это \(\binom{25}{5}\), так как нужно выбрать 5 человек из общего числа студентов. Таким образом, вероятность того, что на концерт пойдут 3 юноши и 2 девушки, определяется следующим образом:

\[
P = \frac{\binom{15}{3} \cdot \binom{10}{2}}{\binom{25}{5}}
\]

2) В этой задаче нам нужно рассчитать вероятность того, что на концерт пойдут не менее 3 юношей. Для этого нам нужно учесть случаи, когда на концерт пойдут 3, 4 или 5 юношей. Мы уже рассчитали вероятность для случая, когда на концерт пойдут 3 юноши (это значение использовалось в предыдущей задаче). Теперь рассчитаем вероятность для случаев с 4 и 5 юношами:

Для 4 юношей и 1 девушки:
\(\binom{15}{4} \cdot \binom{10}{1}\)

Для 5 юношей:
\(\binom{15}{5}\)

Теперь мы можем сложить все эти значения и разделить на общее количество возможных исходов \(\binom{25}{5}\):

\[
P = \frac{\binom{15}{3} \cdot \binom{10}{2} + \binom{15}{4} \cdot \binom{10}{1} + \binom{15}{5}}{\binom{25}{5}}
\]

3) В данной задаче у нас есть продукция трех фабрик, и нам нужно вычислить вероятность того, что изделие было изготовлено на первой фабрике. При условии, что продукция поступает наудачу, общее количество возможных исходов равно сумме продукции трех фабрик. Давайте обозначим количество изделий от первой, второй и третьей фабрик соответственно как \(A, B\) и \(C\).

Общее количество возможных исходов будет равно \(A + B + C\).

Вероятность того, что изделие было изготовлено на первой фабрике, обозначим как \(P(A)\), и она будет определяться следующим образом:

\[
P(A) = \frac{A}{A + B + C}
\]

Таким образом, вероятность того, что наудачу взятое нестандартное изделие было изготовлено на первой фабрике, равна \(\frac{A}{A + B + C}\).