1. Какова вероятность составить слово КУБ, если выбраны пять случайных букв из слова БАМБУК? 2. Какова вероятность

Хорошо, давайте решим каждую задачу по порядку.

1. Для решения этой задачи мы должны определить, сколько всего вариантов выбора пяти букв из слова "БАМБУК" и сколько из этих вариантов составляют слово "КУБ".

Поскольку в слове "БАМБУК" содержится 6 букв, мы можем выбрать 5 букв из них, используя комбинаторные методы. Обозначим количество способов выбрать 5 букв из 6 как C(6, 5).

\[C(6, 5) = \frac{{6!}}{{5! \cdot (6-5)!}} = \frac{{6!}}{{5! \cdot 1!}} = \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1}} = 6.\]

Теперь мы должны определить, сколько из этих вариантов составляют слово "КУБ". В слове "БАМБУК" есть 3 буквы "К", поэтому мы можем выбрать 3 из 3-х букв "К". Обозначим количество способов выбрать 3 буквы "К" из 3-х как C(3, 3).

\[C(3, 3) = \frac{{3!}}{{3! \cdot (3-3)!}} = \frac{{3!}}{{3! \cdot 0!}} = \frac{{3 \cdot 2 \cdot 1}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 1.\]

Теперь мы можем вычислить вероятность составить слово "КУБ", разделив количество вариантов составления слова "КУБ" на общее количество возможных вариантов.

Вероятность составить слово "КУБ" из пяти букв, выбранных из слова "БАМБУК", равна:

\[P = \frac{{C(3,3)}}{{C(6,5)}} = \frac{{1}}{{6}} = \frac{{1}}{{6}} \approx 0.17.\]

Таким образом, вероятность составить слово "КУБ" из пяти случайно выбранных букв из слова "БАМБУК" составляет примерно 0.17 или 17%.

2. Для решения этой задачи мы должны определить, сколько всего вариантов выбора членов клуба и сколько из этих вариантов удовлетворяют условиям задачи.

Всего у нас 20 членов клуба филателистов, и мы должны выбрать 3 из них на должности председателя, заместителя председателя и казначея. Мы можем использовать комбинаторные методы для определения количества вариантов выбора.

Обозначим количество способов выбрать 3 члена на должности председателя, заместителя председателя и казначея как C(20, 3).

\[C(20, 3) = \frac{{20!}}{{3! \cdot (20-3)!}} = \frac{{20!}}{{3! \cdot 17!}} = \frac{{20 \cdot 19 \cdot 18}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 1140.\]

Теперь мы должны определить, сколько из этих вариантов удовлетворяют условиям задачи.

Пусть событие "А" означает выбор А на должности председателя, событие "В" - выбор В на должности председателя или заместителя председателя, и событие "С" - выбор С на должности заместителя председателя или казначея.

Обозначим количество вариантов, удовлетворяющих условию "А" как C(1, 1) = 1 (так как А может быть только один, и его можно выбрать только одним способом).

Обозначим количество вариантов, удовлетворяющих условию "В" как C(2, 1) = 2 (так как из 2 доступных вариантов - В и С - мы можем выбрать только один из них).

Обозначим количество вариантов, удовлетворяющих условию "С" также как C(2, 1) = 2.

Теперь мы можем вычислить вероятность, удовлетворяющую условиям задачи, разделив количество вариантов, удовлетворяющих условиям, на общее количество вариантов.

Вероятность, что председателем станет либо А, либо В, заместителем председателя - либо В, либо С, а казначеем - либо А, либо С при случайном выборе из 20 членов клуба филателистов, равна:

\[P = \frac{{C(1,1) \cdot C(2,1) \cdot C(2,1)}}{{C(20,3)}} = \frac{{1 \cdot 2 \cdot 2}}{{1140}} \approx 0.0035.\]

Таким образом, вероятность, что председателем станет либо А, либо В, заместителем председателя - либо В, либо С, а казначеем - либо А, либо С при случайном выборе из 20 членов клуба филателистов, составляет примерно 0.0035 или 0.35%.

3.а) Для решения этой задачи мы должны определить, сколько всего вариантов распределения юношей по сторонам стола и сколько из этих вариантов удовлетворяют условию, что братья окажутся на разных сторонах.

Общее количество вариантов распределения восемьююношей по сторонам стола можно определить с использованием перестановок. Обозначим общее количество вариантов распределения как P(8).

\[P(8) = 8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40320.\]

Теперь мы должны определить, сколько из этих вариантов удовлетворяют условию, что братья окажутся на разных сторонах стола.

Поскольку есть два брата, и они должны оказаться на разных сторонах, мы можем выбрать одного брата и разместить его на одной стороне стола, а второго брата разместить на другой стороне стола. Мы можем выбрать одного брата 2-мя способами.

Для каждого выбора первого брата, мы можем выбрать любых 3 юношей из оставшихся 7, чтобы сесть на одну сторону стола. Мы можем выбрать 3 юношей из 7-ми по C(7,3) способами.

\[C(7, 3) = \frac{{7!}}{{3! \cdot (7-3)!}} = \frac{{7!}}{{3! \cdot 4!}} = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 35.\]

Теперь мы можем вычислить количество вариантов, удовлетворяющих условию, что братья окажутся на разных сторонах.

Количество вариантов, удовлетворяющих условию, что братья окажутся на разных сторонах стола, равно:

\[2 \cdot C(7, 3) = 2 \cdot 35 = 70.\]

Теперь мы можем вычислить вероятность, удовлетворяющую условию задачи, разделив количество вариантов, удовлетворяющих условию, на общее количество вариантов.

Вероятность того, что братья окажутся на разных сторонах стола, составляет:

\[P = \frac{{2 \cdot C(7, 3)}}{{P(8)}} = \frac{{70}}{{40320}} \approx 0.0017.\]

Таким образом, вероятность того, что братья окажутся на разных сторонах стола, составляет примерно 0.0017 или 0.17%.