1. Какова вероятность решить более трех задач из четырех в контрольной работе по теории вероятностей, если вероятность

Задача 1: Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как в каждой задаче есть только два возможных исхода - либо она решена правильно, либо нет.

Пусть X - количество правильно решенных задач из четырех. Вероятность решить каждую задачу равна 0,7. Мы хотим найти вероятность того, что X будет больше трех.

Для начала, найдем вероятность решить ровно три задачи. Это можно сделать с помощью формулы биномиального распределения:

\[P(X = 3) = C(4, 3) \cdot (0,7)^3 \cdot (1-0,7)^{4-3}\]

где C(4, 3) - количество комбинаций, когда из четырех задач решено ровно три. В этом случае, C(4, 3) = 4.

Подставляя значения, мы получаем:

\[P(X = 3) = 4 \cdot (0,7)^3 \cdot (1-0,7)^{4-3}\]

Проделав вычисления, мы получаем:

\[P(X = 3) = 4 \cdot 0,343 \cdot 0,3 = 0,4116\]

Теперь найдем вероятность решить все четыре задачи:

\[P(X = 4) = C(4, 4) \cdot (0,7)^4 \cdot (1-0,7)^{4-4}\]

где C(4, 4) - количество комбинаций, когда из четырех задач решено все четыре. В этом случае, C(4, 4) = 1.

Подставляя значения, мы получаем:

\[P(X = 4) = 1 \cdot (0,7)^4 \cdot (1-0,7)^{4-4}\]

Проделав вычисления, мы получаем:

\[P(X = 4) = 1 \cdot 0,2401 \cdot 1 = 0,2401\]

Теперь, чтобы найти вероятность решить более трех задач, мы складываем вероятности решить ровно три задачи и решить все четыре задачи:

\[P(X > 3) = P(X = 3) + P(X = 4)\]

Подставляя значения, мы получаем:

\[P(X > 3) = 0,4116 + 0,2401 = 0,6517\]

Таким образом, вероятность решить более трех задач из четырех составляет 0,6517 или около 65,17%.

Задача 2: Для нахождения математического ожидания и дисперсии случайной величины X, мы можем использовать формулы, связанные с биномиальным распределением.

Математическое ожидание (или среднее значение) случайной величины X вычисляется следующим образом:

\[E(X) = n \cdot p\]

где n - число испытаний (в нашем случае, количество задач, равное 4), а p - вероятность успеха (в нашем случае, вероятность решить каждую задачу, равная 0,7).

Подставляя значения, мы получаем:

\[E(X) = 4 \cdot 0,7 = 2,8\]

Таким образом, математическое ожидание случайной величины X составляет 2,8, что означает, что в среднем студент решит около 2,8 задач правильно.

Дисперсия случайной величины X вычисляется следующим образом:

\[Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)\]

Подставляя значения, мы получаем:

\[Var(X) = 4 \cdot 0,7 \cdot (1-0,7)\]

Выполняя вычисления, мы получаем:

\[Var(X) = 4 \cdot 0,7 \cdot 0,3 = 0,84\]

Таким образом, дисперсия случайной величины X составляет 0,84.