1. Какова величина второго острого угла прямоугольного треугольника, где один из острых углов равен 60° и сумма

Задача 1:
Для решения этой задачи будем использовать формулы и свойства прямоугольных треугольников.

Известно, что прямоугольный треугольник имеет один прямой угол, то есть 90°, и сумма всех углов треугольника равна 180°.

По условию дано, что один из острых углов равен 60°. Если обозначить этот угол как α, то острый угол противоположный ему будет равен 90° - 60° = 30°.

Мы также знаем, что сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому, угол противоположный прямому углу будет равен 180° - 90° - 30° = 60°.

Таким образом, второй острый угол прямоугольного треугольника равен 60°.

Задача 2:
Для решения этой задачи также будем использовать формулы и свойства прямоугольных треугольников.

По условию дано, что сумма короткого катета и гипотенузы составляет 30 см. Если обозначить короткий катет как a, а гипотенузу как c, то данное условие можно записать в виде уравнения: a + c = 30.

Мы также знаем, что угол противоположный короткому катету равен 60°. В прямоугольном треугольнике соотношение между катетами и гипотенузой можно найти с помощью тригонометрических функций. В данном случае, синус угла равен отношению длины противоположенного катета к длине гипотенузы: \(\sin(60^\circ) = \frac{a}{c}\).

Синус 60° равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому \(\frac{a}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Из уравнения a + c = 30 можно выразить c: c = 30 - a.

Подставим это выражение для c в уравнение \(\frac{a}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}\):

\(\frac{a}{30 - a} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Далее, умножим обе части уравнения на 2 и раскроем скобки:

2a = (30 - a) \(\cdot\) \(\sqrt{3}\).

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

2a = 30\(\sqrt{3}\) - a\(\sqrt{3}\).

Перенесем все переменные на одну сторону уравнения:

3a = 30\(\sqrt{3}\).

Избавимся от коэффициента 3, разделив обе части уравнения на 3:

a = 10\(\sqrt{3}\).

Таким образом, длина короткого катета прямоугольного треугольника равна 10\(\sqrt{3}\) см.