1. Какова сумма углов в выпуклом 102-угольнике? 2. Сколько сторон у выпуклого многоугольника, если сумма его углов

1. Для решения этой задачи нам необходимо знать формулу для вычисления суммы углов в выпуклом \(n\)-угольнике. Формула для этого выражается следующим образом:

\[S = (n - 2) \cdot 180^\circ\]

Где \(S\) - сумма углов в выпуклом многоугольнике, а \(n\) - количество углов (в данном случае, число сторон многоугольника). Подставим \(n = 102\):

\[S = (102 - 2) \cdot 180^\circ = 100 \cdot 180^\circ = 18000^\circ\]

Таким образом, сумма углов в выпуклом 102-угольнике составляет 18000°.

2. Задача состоит в нахождении количества сторон выпуклого многоугольника, если сумма его углов равна 1260°. Мы знаем, что сумма углов в многоугольнике выражается формулой:

\[S = (n - 2) \cdot 180^\circ\]

Где \(S\) - сумма углов в выпуклом многоугольнике, а \(n\) - количество углов (сторон многоугольника). Подставим \(S = 1260°\) в эту формулу и решим уравнение:

\[1260 = (n - 2) \cdot 180\]

\[n - 2 = \frac{1260}{180}\]

\[n - 2 = 7\]

\[n = 9\]

Таким образом, выпуклый многоугольник имеет 9 сторон.

3. По условию задачи, диагональ разбивает выпуклый шестиугольник таким образом, что один из многоугольников является четырёхугольником. Из этого следует, что итоговые два многоугольника должны быть пятиугольниками. Давайте рассмотрим ситуацию более подробно:

Предположим, что исходный шестиугольник имеет вершины A, B, C, D, E и F, и диагональ разбивает его таким образом, что образуются два пятиугольника: ABCDE и ADEF.

Таким образом, второй многоугольник будет являться пятиугольником.

4. Дано, что диагональ разбивает выпуклый \(n\)-угольник таким образом, что один из многоугольников является треугольником. Также известно, что выпуклый \(n\)-угольник разбивается на \(n - 2\) треугольника диагоналями, не имеющими общих точек внутри многоугольника. Поэтому, если один из многоугольников является треугольником, то второй многоугольник будет иметь \(n - 3\) вершин.

Таким образом, второй многоугольник будет иметь \(n - 3\) сторон.

5. Для решения этой задачи, воспользуемся формулой для периметра многоугольника \(P\), которая выражается следующим образом:

\[P = n \cdot s\]

Где \(n\) - количество сторон многоугольника, а \(s\) - длина одной из его сторон. По условию задачи, периметр семиугольника на 42 см больше длины одной из его сторон:

\[P = s * 7\]
\[P = s + 42\]

Подставим первое уравнение во второе и решим уравнение:

\[s * 7 = s + 42\]
\[7s = s + 42\]
\[6s = 42\]
\[s = \frac{42}{6}\]
\[s = 7\]

Таким образом, длина стороны семиугольника равна 7 см.

6. Необходимо разделить данный многоугольник на три многоугольника. К сожалению, в условии не указаны дополнительные детали, связанные с разделением многоугольника. Поэтому, чтобы дать более конкретный ответ, нужна дополнительная информация о том, как многоугольник разделяется и какие формы имеют образовавшиеся многоугольники. Если у вас есть дополнительные данные, пожалуйста, предоставьте их, и я с удовольствием помогу вам определить, на какие три многоугольника разделён данный многоугольник.