1) Какова сторона основания правильной пирамиды, если площадь боковой поверхности пирамиды составляет 288,6, а апофема

Для решения данных задач, нам понадобятся формулы, связанные с правильной пирамидой.

Формула для площади боковой поверхности правильной пирамиды:
\[S_{\text{бп}} = \frac{P \cdot a_{\text{п}}}{2}\]
где \(S_{\text{бп}}\) - площадь боковой поверхности, \(P\) - периметр основания, \(a_{\text{п}}\) - апофема.

Формула для нахождения длины стороны основания правильной пирамиды:
\[a = \sqrt{\frac{4S_{\text{бп}}}{\sqrt{3}}}\]
где \(a\) - сторона основания, \(S_{\text{бп}}\) - площадь боковой поверхности.

Формула для нахождения апофемы правильной пирамиды:
\[a_{\text{п}} = \frac{2S_{\text{бп}}}{P}\]
где \(a_{\text{п}}\) - апофема, \(S_{\text{бп}}\) - площадь боковой поверхности, \(P\) - периметр основания.

Давайте решим каждую задачу по очереди.

1) Для начала найдем длину стороны основания. Уравнение, связанное с площадью боковой поверхности пирамиды:
\[S_{\text{бп}} = \frac{P \cdot a_{\text{п}}}{2}\]
Подставляем данные из условия: \(S_{\text{бп}} = 288,6\) и \(a_{\text{п}} = 7,4\). Неизвестную \(P\) обозначим \(P_1\):
\[288,6 = \frac{P_1 \cdot 7,4}{2}\]
Решаем уравнение относительно \(P_1\):
\[P_1 = \frac{2 \cdot 288,6}{7,4} \approx 83,297\]

Теперь мы можем найти сторону основания с использованием следующей формулы:
\[a = \sqrt{\frac{4S_{\text{бп}}}{\sqrt{3}}}\]
Подставляем данные: \(S_{\text{бп}} = 288,6\):
\[a = \sqrt{\frac{4 \cdot 288,6}{\sqrt{3}}} \approx 28,144\]

Ответ:
1) Строна основания правильной пирамиды составляет примерно 28,144.

2) Теперь перейдем ко второй задаче. Нам нужно найти апофему правильной пирамиды. Используем следующую формулу:
\[a_{\text{п}} = \frac{2S_{\text{бп}}}{P}\]
Подставляем данные: \(S_{\text{бп}} = 122,5\) и \(P_2 = 14\):
\[a_{\text{п}} = \frac{2 \cdot 122,5}{14} \approx 17,5\]

Ответ:
2) Апофема правильной пирамиды составляет примерно 17,5.

3) Наконец, перейдем к третьей задаче. Нам нужно найти площадь боковой поверхности пирамиды с пятиугольным основанием и заданной апофемой. Используем формулу:
\[S_{\text{бп}} = \frac{P_3 \cdot a_{\text{п}}}{2}\]
Периметр пятиугольника можно найти, зная длину стороны и количество сторон. Пятиугольник с заданной стороной 10 имеет 5 сторон:
\[P_3 = 5 \cdot 10 = 50\]
Подставляем данные в формулу: \(P_3 = 50\) и \(a_{\text{п}} = ?\)
\[S_{\text{бп}} = \frac{50 \cdot a_{\text{п}}}{2}\]
Пока неизвестную \(a_{\text{п}}\) обозначим \(a_{\text{п3}}\):
\[S_{\text{бп}} = 25 \cdot a_{\text{п3}}\]

Ответ:
3) Площадь боковой поверхности правильной пирамиды с пятиугольным основанием и апофемой \(a_{\text{п3}}\) равна \(25 \cdot a_{\text{п3}}\).