1) Какова средняя угловая скорость тела в течение первых четырех секунд движения, если она описывается формулой φ

Задача 1:
Для решения данной задачи нам дано уравнение, описывающее зависимость угла поворота тела \(\phi\) от времени \(t\): \(\phi = 10 + 20t - 2t^2\).

Чтобы найти среднюю угловую скорость тела за первые четыре секунды движения, нам нужно найти изменение угла поворота за это время и разделить его на время.

Для начала найдем угол поворота в начальный и конечный момент времени:
\(\phi_1 = 10 + 20(0) - 2(0)^2 = 10\),
\(\phi_2 = 10 + 20(4) - 2(4)^2 = 10 + 80 - 32 = 58\).

Изменение угла поворота \(\Delta\phi\) будет равно:
\(\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1 = 58 - 10 = 48\).

Теперь найдем среднюю угловую скорость \(\omega_{\text{ср}}\) путем деления изменения угла на время:
\(\omega_{\text{ср}} = \frac{\Delta\phi}{\Delta t} = \frac{48}{4} = 12\) рад/с.

Таким образом, средняя угловая скорость тела в течение первых четырех секунд движения равна 12 рад/с.

Задача 2:
В данной задаче нам известны значения средней угловой скорости, тангенциального ускорения, нормального ускорения и общего ускорения для определенного момента времени \(t_1 = 4\) с.

Известные значения:
Средняя угловая скорость: \(\omega_{\text{ср}} = 12\) рад/с,
Тангенциальное ускорение: \(a_{\text{т}} = -0.4\) м/c\(^2\),
Нормальное ускорение: \(a_{\text{н}} = 1.6\) м/c\(^2\),
Общее ускорение: \(a = 1.64\) м/с\(^2\).

Нормальное ускорение \(a_{\text{н}}\) определяет изменение направления скорости тела, а тангенциальное ускорение \(a_{\text{т}}\) отвечает за изменение величины скорости. Общее ускорение \(a\) комбинирует оба этих вида ускорений.

Так как точка находится на расстоянии 0,1 м от оси вращения, мы можем использовать связь между линейной скоростью и угловой скоростью: \(v = \omega r\), где \(v\) - линейная скорость, \(\omega\) - угловая скорость, \(r\) - расстояние от оси вращения.

Используя эту связь, мы можем найти линейную скорость \(v\):
\(v = \omega_{\text{ср}} \cdot r = 12 \cdot 0.1 = 1.2\) м/с.

Теперь мы можем найти тангенциальное ускорение \(a_{\text{т}}\) с помощью формулы: \(a_{\text{т}} = \frac{\Delta v}{\Delta t}\), где \(\Delta v\) - изменение линейной скорости, \(\Delta t\) - изменение времени.

Так как средняя угловая скорость постоянна, изменения в линейной скорости нет, и \(\Delta v = 0\).
Таким образом, тангенциальное ускорение \(a_{\text{т}}\) равно -0.4 м/c\(^2\).

Используя общее ускорение \(a\), мы можем найти нормальное ускорение \(a_{\text{н}}\) с помощью формулы: \(a_{\text{н}} = \frac{v^2}{r}\).

Подставляя известные значения, получим:
\(1.6 = \frac{v^2}{0.1}\).
Отсюда находим:
\(v^2 = 0.1 \cdot 1.6 = 0.16\),
\(v = \sqrt{0.16}\),
\(v = 0.4\) м/с.

Таким образом, найденные значения:
Нормальное ускорение \(a_{\text{н}} = 1.6\) м/c\(^2\),
Тангенциальное ускорение \(a_{\text{т}} = -0.4\) м/c\(^2\),
Общее ускорение \(a = 1.64\) м/с\(^2\).