1) Какова спектральная плотность энергетической светимости (r,т) для длины волны  = 600 нм при температуре т черного

Конечно, я помогу вам с решением задачи. Давайте разобъем ее на две части и рассмотрим каждую по отдельности.

1) Для начала рассчитаем спектральную плотность энергетической светимости \(r_{\lambda, t}\) для заданной длины волны \(\lambda = 600\) нм при температуре \(t\) черного тела, равной 2000 К.

Спектральная плотность энергетической светимости для черного тела описывается формулой Планка:
\[r_{\lambda, t} = \frac{{2 \pi c^2 h}}{{\lambda^5}} \cdot \left( \frac{{e^{\frac{{hc}}{{\lambda k_B t}}} - 1}}{{e^{\frac{{hc}}{{\lambda k_B t}}} - 1}} \right)\]

Где:
\(c\) - скорость света (\(3 \times 10^8\) м/с),
\(h\) - постоянная Планка (\(6.63 \times 10^{-34}\) Дж/с),
\(\lambda\) - длина волны света,
\(k_B\) - постоянная Больцмана (\(1.38 \times 10^{-23}\) Дж/К),
\(t\) - температура черного тела.

Подставим в формулу значения:
\[\lambda = 600 \times 10^{-9}\text{ м} = 6 \times 10^{-7}\text{ м}\]
\[t = 2000\text{ К}\]

\[r_{\lambda, t} = \frac{{2 \pi \cdot (3 \times 10^8)^2 \cdot (6.63 \times 10^{-34})}}{{(6 \times 10^{-7})^5}} \cdot \left( \frac{{e^{\frac{{(6.63 \times 10^{-34}) \cdot (3 \times 10^8)}}{{(6 \times 10^{-7}) \cdot (1.38 \times 10^{-23}) \cdot 2000}}} - 1}}{{e^{\frac{{(6.63 \times 10^{-34}) \cdot (3 \times 10^8)}}{{(6 \times 10^{-7}) \cdot (1.38 \times 10^{-23}) \cdot 2000}}} - 1}} \right)\]

После подстановки значений, выполняем расчеты и получаем:
\[r_{\lambda, t} = 30 \times 10^{-3}\text{ Вт/м}^2 \cdot \text{мм}\]

Ответ: Спектральная плотность энергетической светимости для длины волны 600 нм и температуры 2000 К равна 30 мВт/м\(^2\cdot\)мм.

2) Теперь найдем энергетическую светимость \(\Delta r_e\) в диапазоне длин волн от \(\lambda_1 = 590\) нм до \(\lambda_2 = 610\) нм при условии, что средняя спектральная плотность энергетической светимости тела в этом интервале равна значению, найденному для длины волны \(\lambda = 600\) нм.

Энергетическая светимость для заданного интервала длин волн задается следующей формулой:
\[\Delta r_e = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} r_{\lambda, t} \, d\lambda\]

Чтобы решить этот интеграл, будем считать, что спектральная плотность энергетической светимости \(r_{\lambda, t}\) постоянна в данном интервале и равна значению, найденному для \(\lambda = 600\) нм. Затем умножим это значение на ширину интервала \(\Delta \lambda = \lambda_2 - \lambda_1\) и произведем необходимые вычисления.

Подставим в формулу значения:
\[\lambda_1 = 590 \times 10^{-9}\text{ м} = 5.9 \times 10^{-7}\text{ м}\]
\[\lambda_2 = 610 \times 10^{-9}\text{ м} = 6.1 \times 10^{-7}\text{ м}\]

\[\Delta \lambda = \lambda_2 - \lambda_1 = 6.1 \times 10^{-7}\text{ м} - 5.9 \times 10^{-7}\text{ м} = 2 \times 10^{-8}\text{ м}\]

\[\Delta r_e = r_{\lambda, t} \cdot \Delta \lambda = 30 \times 10^{-3}\text{ Вт/м}^2 \cdot \text{мм} \cdot 2 \times 10^{-8}\text{ м}\]

После выполнения вычислений получаем:
\[\Delta r_e = 600\text{ Вт/м}^2\]

Ответ: Энергетическая светимость в диапазоне длин волн от 590 нм до 610 нм составляет 600 Вт/м\(^2\).

Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!