1. Какова скорость восточного ветра, если самолет, двигаясь точно на север, удерживает курс на северо-восток под углом

Задача 1. Для решения этой задачи нам необходимо разложить скорость самолета на две составляющие: на север (\(V_N\)) и на восток (\(V_E\)).
Из условия задачи у нас дан угол между курсом самолета и меридианом, который составляет 30º. Зная этот угол, мы можем вычислить \(V_N\) и \(V_E\), используя тригонометрические соотношения.

Нам дана собственная скорость самолета \(V = 200\) м/с.

Чтобы найти \(V_N\), можем воспользоваться синусом угла 30º:

\[V_N = V \cdot \sin(30º)\]

Подставив значение собственной скорости и вычисленное значение синуса, получим:

\[V_N = 200 \cdot \sin(30º)\]

Чтобы найти \(V_E\), можем воспользоваться косинусом угла 30º:

\[V_E = V \cdot \cos(30º)\]

Подставив значение собственной скорости и вычисленное значение косинуса, получим:

\[V_E = 200 \cdot \cos(30º)\]

Вычислив значения обеих компонент скорости, мы найдем скорость восточного ветра:

\[V_{восток} = V_E\]

Или, подставив числовые значения:

\[V_{восток} = 200 \cdot \cos(30º)\]

Теперь остается только вычислить эту величину:

\[V_{восток} = 200 \cdot \cos(30º) \approx 173.2 \, \text{м/с}\]

Ответ: Скорость восточного ветра равна примерно 173.2 м/с.

Задача 2. В данной задаче нам дано выражение для пути, пройденного телом в зависимости от времени (\(s = 5 + 2t + 4t^2\)), где \(t\) - время в часах. Нам необходимо найти скорость тела через 2 часа после начала отчета времени.

Чтобы найти скорость, нужно взять производную от пути по времени:

\[v = \frac{ds}{dt}\]

В нашем случае:

\[s = 5 + 2t + 4t^2\]

Берем производную по времени:

\[v = \frac{ds}{dt} = \frac{d(5 + 2t + 4t^2)}{dt} = 2 + 8t\]

Теперь нам нужно подставить \(t = 2\) в полученное выражение:

\[v = 2 + 8 \cdot 2 = 18 \, \text{м/с}\]

Ответ: Скорость тела через 2 часа после начала отчета времени равна 18 м/с.

Задача 3. В этой задаче нам нужно найти время, через которое экспресс догонит товарный поезд, а также расстояние от станции к месту, где это произойдет.

Из условия задачи известны скорости товарного поезда (\(V_{товарный} = 12 \, \text{м/с}\)) и экспресса (\(V_{экспресс} = 22 \, \text{м/с}\)) относительно станции, а также факт, что экспресс вышел через 1 час после товарного поезда.

Пусть \(t\) - время, прошедшее после выхода товарного поезда. Тогда время, прошедшее после выхода экспресса, будет \(t - 1\).

Теперь мы можем записать уравнение равенства пройденных расстояний:

\[V_{товарный} \cdot t = V_{экспресс} \cdot (t - 1)\]

Подставляем известные значения и решаем уравнение:

\[12t = 22(t - 1)\]

\[12t = 22t - 22\]

\[10t = 22\]

\[t = \frac{22}{10} = 2.2 \, \text{ч}\]

Теперь мы можем найти расстояние, на котором экспресс догонит товарный поезд, используя любую из двух скоростей. Для удобства выберем скорость экспресса:

\[s = V_{экспресс} \cdot (t - 1) = 22 \cdot (2.2 - 1) = 22 \cdot 1.2 = 26.4 \, \text{км}\]

Ответ: Экспресс догонит товарный поезд через 2.2 часа после выхода товарного поезда, на расстоянии приблизительно 26.4 км от станции.