1. Какова полная энергия замкнутой системы пружинного маятника с жесткостью пружины в 100 Н/м, если максимальная

Давайте разберем каждую задачу по очереди:

1. Для решения этой задачи воспользуемся формулой для полной энергии пружинного маятника, которая выражается как сумма его потенциальной и кинетической энергий. Формула выглядит следующим образом:

$$E_{\text{полн}}=E_{\text{пот}}+E_{\text{кин}}$$

Потенциальная энергия пружинного маятника равна половине произведения жесткости пружины $k$ на квадрат амплитуды колебаний $A$:

$$E_{\text{пот}}=\frac{1}{2}k{A}^2$$

Кинетическая энергия пружинного маятника определяется половиной произведения массы объекта $m$ на квадрат его скорости $v$:

$$E_{\text{кин}}=\frac{1}{2}m{v}^2$$

Подставим известные значения в формулу и рассчитаем полную энергию:

$$E_{\text{полн}}=\frac{1}{2}\times 100\text{Н/м}\times (3\text{м}{)}^2+\frac{1}{2}\times 5\text{кг}\times (5\text{м/с}{)}^2$$

После подсчета получаем:

$$E_{\text{полн}}=225\text{Дж}$$

Таким образом, полная энергия замкнутой системы пружинного маятника равна 225 Дж.

2. Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Начальная потенциальная энергия, когда объект находится в равновесии, равна 0, так как расстояние от точки равновесия до начального положения равно 0. Таким образом, полная энергия системы в начальный момент времени состоит только из кинетической энергии.

При смещении объекта от точки равновесия на 10 см, его потенциальная энергия увеличивается. По закону сохранения энергии, это увеличение потенциальной энергии должно быть компенсировано уменьшением кинетической энергии. После смещения от точки равновесия, объект начинает двигаться в обратную сторону, и его энергия перетекает из потенциальной в кинетическую.

Мы можем рассчитать потенциальную энергию, используя формулу:

$$E_{\text{пот}}=\frac{1}{2}k{x}^2$$

Где $k$ - жесткость пружины, а $x$ - смещение от точки равновесия. В данной задаче $x=0.1\text{м}$.

Полная энергия системы должна оставаться постоянной, так как система замкнута. Поэтому кинетическая энергия должна уменьшиться таким образом, чтобы компенсировать увеличение потенциальной энергии. Мы можем рассчитать новую кинетическую энергию следующим образом:

$$E_{\text{кин}}=E_{\text{полн}}-E_{\text{пот}}$$

Где $E_{\text{полн}}$ - начальная полная энергия системы (равна кинетической энергии в начальный момент времени).

Подставим известные значения в формулу и рассчитаем новую кинетическую энергию:

$$E_{\text{кин}}=\frac{1}{2}\times 15\text{кг}\times (\text{см/с}\to \text{м/с}{)}^2$$

После подсчета получаем:

$$E_{\text{кин}}=0.75\text{Дж}$$

Таким образом, новая кинетическая энергия составляет 0.75 Дж.

Мы можем использовать формулу для кинетической энергии, чтобы рассчитать скорость объекта:

$$E_{\text{кин}}=\frac{1}{2}m{v}^2$$

Распишем формулу и найдем скорость:

$$v=\sqrt{\frac{2E_{\text{кин}}}{m}}$$

Подставим известные значения и рассчитаем скорость:

$$v=\sqrt{\frac{2\times 0.75\text{Дж}}{15\text{кг}}}$$

После подсчета получаем:

$$v\approx 0.18\text{м/с}$$

Таким образом, скорость движения объекта составляет примерно 0.18 м/с, когда он выводится из равновесия и смещается от точки равновесия на 10 см.

3. Для решения этой задачи также воспользуемся законом сохранения энергии. При смещении объекта от точки равновесия на 15 см, его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая энергия уменьшается. После достижения максимального смещения, объект изменяет направление движения и начинает возвращаться к точке равновесия. В этот момент полная энергия системы снова должна быть равна сумме потенциальной и кинетической энергии.

Мы можем рассчитать потенциальную энергию, используя формулу:

$$E_{\text{пот}}=\frac{1}{2}k{x}^2$$

Где $k$ - жесткость пружины, а $x$ - смещение от точки равновесия. В данной задаче $x=0.15\text{м}$.

Полная энергия системы должна оставаться постоянной, так как система замкнута. Поэтому кинетическая энергия должна уменьшиться таким образом, чтобы компенсировать увеличение потенциальной энергии. Мы можем рассчитать новую кинетическую энергию следующим образом:

$$E_{\text{кин}}=E_{\text{полн}}-E_{\text{пот}}$$

Где $E_{\text{полн}}$ - начальная полная энергия системы (равна кинетической энергии в начальный момент времени).

Подставим известные значения в формулу и рассчитаем новую кинетическую энергию:

$$E_{\text{кин}}=\frac{1}{2}\times m\times (\text{см/с}\to \text{м/с}{)}^2$$

Зная, что скорость объекта равна 15 см/с, подставим значение и рассчитаем новую кинетическую энергию:

$$E_{\text{кин}}=\frac{1}{2}\times m\times (0.15\text{м/с}{)}^2$$

После подсчета получаем:

$$E_{\text{кин}}=0.01125m\text{кг}{\text{м}}^2/{\text{с}}^2$$

Таким образом, новая кинетическая энергия составляет $0.01125m\text{кг}{\text{м}}^2/{\text{с}}^2$.

Мы можем использовать формулу для потенциальной энергии, чтобы рассчитать массу объекта:

$$E_{\text{пот}}=\frac{1}{2}k{x}^2$$

Перепишем формулу и найдем массу:

$$m=\frac{2E_{\text{пот}}}{k{x}^2}$$

Подставим известные значения и рассчитаем массу объекта:

$$m=\frac{2\times 0.01125\text{Дж}}{50\text{Н/м}\times (0.15\text{м}{)}^2}$$

После подсчета получаем:

$$m\approx 0.25\text{кг}$$

Таким образом, масса объекта, подвешенного на пружине с жесткостью 50 Н/м, равна примерно 0.25 кг, если он смещается от точки равновесия на 15 см и развивает скорость 15 см/с.