1. Какова площадь треугольника с равной стороной, равной 103√дм? 2. Каков радиус окружности, которая вписана

1. Чтобы найти площадь треугольника, нам необходимо знать его высоту. Для равностороннего треугольника, высота — это отрезок, опущенный из вершины произвольного угла треугольника и перпендикулярный противоположной стороне. Очевидно, что этот отрезок является медианой и биссектрисой треугольника.

Для начала, давайте найдем высоту треугольника. Известно, что равносторонний треугольник имеет равнобедренные треугольники внутри себя. Поэтому медиана является одновременно и высотой, и медианой бокового равнобедренного треугольника.

Чтобы найти высоту треугольника, проведем медиану. Медиана треугольника делит его на два равных треугольника. Так как медиана бокового треугольника равна половине основания, длина медианы этого треугольника будет равна \( \frac{103\sqrt{3}}{2} \) дециметров.

Теперь, зная высоту, мы можем найти площадь треугольника. Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле \( S = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} \), где \( a \) - сторона треугольника. В данном случае, сторона треугольника равна \( 103\sqrt{3} \) дециметров, поэтому площадь равна:

\[ S = \frac{{(103\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}}{4} = \frac{{(10609) \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}}{4} = 7956\sqrt{3} \, \, \text{квадратных дециметров} \]

2. Чтобы найти радиус вписанной окружности, нам понадобится знать длины сторон треугольника. Однако, мы можем воспользоваться ранее найденной высотой треугольника.

Радиус вписанной окружности для равностороннего треугольника можно найти с помощью формулы \( r = \frac{{a \sqrt{3}}}{6} \), где \( a \) - сторона треугольника. Вставив значение стороны треугольника \( a = 103\sqrt{3} \), получаем:

\[ r = \frac{{103\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}}{6} = \frac{{309}}{6} = 51.5 \, \, \text{дециметров} \]

3. Чтобы найти радиус описанной окружности, мы можем воспользоваться формулой \( R = \frac{{a}}{\sqrt{3}} \), где \( a \) - сторона треугольника.

Подставив значение стороны треугольника \( a = 103\sqrt{3} \), получаем:

\[ R = \frac{{103\sqrt{3}}}{\sqrt{3}} = 103 \, \, \text{дециметра} \]