1. Какова площадь треугольника ABC, если известно, что AB=4, AC=1, и cos угла BAC равен корню из 3/2? 2. Какой угол

1. Площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу полупериметра и радиуса вписанной окружности. Для этого сначала найдем значение радиуса вписанной окружности.

Полупериметр треугольника ABC можно найти, сложив длины сторон треугольника и поделив полученную сумму на 2:
\[p = \frac{(AB + AC + BC)}{2} = \frac{(4 + 1 + BC)}{2} = \frac{(5 + BC)}{2}\]

С помощью формулы радиуса вписанной окружности, зависящей от полупериметра и площади, найдем значение радиуса:
\[r = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{(5 + BC)}{2}\]

Зная радиус, можно найти площадь треугольника ABC с помощью формулы:
\[S = r \cdot p\]

2. Для нахождения угла АОВ нам понадобится использовать связь двух углов, которые опираются на одну и ту же хорду АВ. Известно, что угол БАО равен 30 градусам.

Поделим угол АОВ пополам и обозначим его через x. Таким образом, у нас будет два угла: угол БАО, равный 30 градусам, и угол ВАО, равный x градусам.

С использованием свойств углов, опирающихся на одну и ту же хорду АВ, получим уравнение:
\[2x + 30 = 180\]

Решив это уравнение, найдем значение угла АОВ.

3. Высота EH, проведенная к основанию пирамиды ABCDE, равна расстоянию от вершины пирамиды до плоскости основания ABCD.

Поскольку пирамида ABCDE является правильной, все боковые грани и высоты правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками. Поэтому, высота EH будет одновременно являться биссектрисой угла между сторонами пирамиды AB и AE.

Найдем длину биссектрисы с помощью формулы:
\[BE = \sqrt{AB \cdot AE}\]
\[HE = \frac{2}{3} \cdot BE\]

Таким образом, высота EH равна \(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{AB \cdot AE}\).

4. Для нахождения радиуса полусферы по заданному объему, воспользуемся формулой объема полусферы:
\[V = \frac{2}{3} \pi R^3\]

Подставляя данное значение объема в формулу, получим:
\[\frac{2}{3} \pi R^3 = 18\pi\]

Решив это уравнение, найдем значение радиуса полусферы R.

5. Чтобы определить находится ли точка A (1;4;2) на сфере (x-2)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=9, подставим координаты точки A в уравнение сферы.

Получим:
\[(1-2)^2 + (4+1)^2 + (2-2)^2 = 9\]
\[1 + 25 + 0 = 9\]

Уравнение не выполняется, поэтому точка A не находится на данной сфере.

Для определения того, является ли точка A внутренней или внешней по отношению к сфере, можно рассмотреть расстояние от центра сферы О (2;-1;2) до точки A (1;4;2).

\[d = \sqrt{(1-2)^2 + (4+1)^2 + (2-2)^2}\]
\[d = \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + 0^2}\]
\[d = \sqrt{1 + 25 + 0}\]
\[d = \sqrt{26}\]

Расстояние между центром сферы и точкой A равно \(\sqrt{26}\).
Поскольку расстояние больше радиуса сферы, точка A находится вне сферы.