1. Какова площадь прямоугольника (в квадратных сантиметрах), вписанного в окружность с радиусом 2,5 сантиметра, если

Хорошо, решим каждую задачу по порядку.

1. Дана окружность с радиусом \(r = 2,5\) см, в которую вписан прямоугольник с одной из сторон \(a = 2\) см.

Чтобы найти площадь прямоугольника, нам сначала нужно найти его стороны. Рассмотрим прямоугольник, вписанный в окружность:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick, dashed] (0,0) circle (2.5);
\draw[thick] (-2,0) -- (2,0) -- (2,2) -- (-2,2) -- (-2,0);
\draw[thick, dashed] (0,0) -- (2,0);
\node at (0,-0.5) {O};
\node at (1,-0.3) {r};
\node at (-0.15,1) {a};
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Из геометрии окружности мы знаем, что диаметр окружности равен удвоенному радиусу:

\(d = 2r = 2 \times 2,5 = 5\) см.

Так как диаметр равен одной из сторон прямоугольника, то длина другой стороны будет равна \(a = 2\) см.

Теперь мы можем найти площадь прямоугольника, используя формулу: площадь = длина \(\times\) ширина.

Площадь прямоугольника:

\(S = a \times b = 2 \times 5 = 10\) кв. см.

Таким образом, площадь прямоугольника, вписанного в окружность с радиусом 2,5 см, составляет 10 кв. см.

2. Дана окружность с радиусом \(r = 6\) см, в которую вписана трапеция, у которой одно из оснований больше другого на 5 см.

Чтобы найти площадь трапеции, вспомним формулу: площадь = \(\frac{a+b}{2} \times h\), где \(a\) и \(b\) - длины оснований, \(h\) - высота трапеции.

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick, dashed] (0,0) circle (6);
\draw[thick] (-8,0) -- (8,0);
\draw[thick] (-5,0) -- (-2,4) -- (2,4) -- (5,0);
\draw[thick, dashed] (0,6) -- (0,0) -- (-2,4);
\draw[thick, dashed] (0,6) -- (0,0) -- (2,4);
\node at (0,-0.7) {O};
\node at (-4.5,-0.5) {a};
\node at (4.5,-0.5) {b};
\node at (-1.5,2.5) {h};
\node at (1.5,2.5) {h};
\node at (0,7) {r};
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Из геометрии окружности мы знаем, что диаметр окружности равен удвоенному радиусу:

\(d = 2r = 2 \times 6 = 12\) см.

Зная это, мы можем определить длины оснований трапеции. Одно основание будет равно диаметру минус разность радиуса и 5 см, так как одно основание больше другого на 5 см:

\(a = 12 - (6 - 5) = 11\) см.

Второе основание будет равно диаметру:

\(b = 12\) см.

Теперь нам нужно найти высоту трапеции. Для этого установим, что отрезок, соединяющий центр окружности с точкой пересечения оснований, будет перпендикулярным к обоим основаниям и радиусу:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick, dashed] (0,0) circle (6);
\draw[thick] (-8,0) -- (8,0);
\draw[thick] (-5,0) -- (-2,4) -- (2,4) -- (5,0);
\draw[thick, dashed] (0,6) -- (0,0) -- (-2,4);
\draw[thick, dashed] (0,6) -- (0,0) -- (2,4);
\node at (0,-0.7) {O};
\node at (-4.5,-0.5) {a};
\node at (4.5,-0.5) {b};
\node at (-1.5,2.5) {h};
\node at (1.5,2.5) {h};
\node at (0,7) {r};
\draw[thick, dashed] (-2,4) -- (0,0);
\draw[thick, dashed] (2,4) -- (0,0);
\draw[thick, dashed] (0,6) -- (0,4.5);
\draw[thick, dashed] (0,0) -- (0,4.5);
\node at (-1.8,1.8) {r};
\node at (1.8,1.8) {r};
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Мы можем заметить, что полученная фигура состоит из двух прямоугольных треугольников и прямоугольника. Обозначим высоту трапеции как \(h\) и радиусы треугольников как \(r\).

Теперь мы можем приступить к нахождению высоты \(h\). Из прямоугольных треугольников мы знаем, что синус угла между радиусом и высотой будет равен отношению \(h\) к радиусу:

\(\sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{h}{r}\).

Так как синус угла \(\frac{\pi}{2}\) равен 1, мы получаем:

\(1 = \frac{h}{6}\).

Отсюда находим высоту:

\(h = 6\) см.

Теперь мы можем найти площадь трапеции:

\(S = \frac{a + b}{2} \times h = \frac{11 + 12}{2} \times 6 = \frac{23}{2} \times 6 = 69\) кв. см.

Таким образом, площадь трапеции, в которую вписана окружность радиусом 6 см, составляет 69 кв. см.

3. Дан треугольник MKN, в котором окружность проходит через вершины M и K, пересекая сторону MN в точке P и сторону KN в точке T. Также известно, что \(\angle KMP = 57^\circ\) и \(\angle TPN = 68^\circ\).

Чтобы найти угол KNM в исходном треугольнике, вспомним, что угол, образуемый центральным углом, вписанным в дугу, равен удвоенному углу, образованному хордой, соединяющей концы дуги:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick, dashed] (0,0) circle (2);
\draw[thick] (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw[thick] (-1.3,0.3) -- (1.2,2.3) -- (1,0);
\draw[thick, dashed] (0,2) -- (0,0) -- (-0.5,0);
\draw[thick, dashed] (0,2) -- (0,0) -- (0.9,2.1);
\node at (0,-0.3) {O};
\node at (-1.6,-0.3) {N};
\node at (1.6,-0.3) {M};
\node at (1.4,2.6) {K};
\node at (-0.35,1) {h};
\node at (0.6,1.6) {h};
\node at (0,2.2) {r};
\node at (-0.25,-0.7) {\(x^\circ\)};
\node at (1.3,-0.7) {\(x^\circ\)};
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Мы можем заметить, что полученная фигура состоит из двух равнобедренных треугольников MPO и KTO. Обозначим угол KNM, который мы хотим найти, как \(x\).

Так как треугольник MPO равнобедренный и \(\angle KMP = 57^\circ\), то угол KPM будет равен \(x^\circ\). Аналогично, из равнобедренности треугольника KTO и известного угла \(\angle TPN = 68^\circ\) следует, что угол TPN будет равен \(x^\circ\).

В результате мы имеем центральный угол, вписанный в дугу MP, равный углу KMP. Также у нас есть центральный угол, вписанный в дугу PT, который равен углу TPN. При этом угол KNM является суммой центрального угла, вписанного в дугу MP, и центрального угла, вписанного в дугу PT:

\(x^\circ = \angle KMP + \angle TPN = 57^\circ + 68^\circ = 125^\circ\).

Таким образом, угол KNM в исходном треугольнике MKN равен 125 градусам.

Это были пошаговые решения трех задач. Если у вас остались вопросы или нужно решить другие задачи, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!