1) Какова площадь поверхности правильной четырехугольной призмы высотой 12 см и диагональю основания 10 см? Каков обьем

1) Для решения задачи о площади поверхности призмы нужно разделить ее на две части: основания и боковые грани.

Основания призмы - четырехугольники. Чтобы найти площадь основания, мы можем воспользоваться формулой для площади прямоугольника, так как правильная четырехугольная призма будет иметь прямоугольные основания.

Дано: высота \(h = 12\) см и диагональ основания \(d = 10\) см.

Площадь прямоугольника можно найти по формуле: \(S_{\text{прям}} = a \cdot b\), где \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника.

Так как основание - прямоугольник, его стороны можно найти через высоту и диагональ по теореме Пифагора:

\[
a = \sqrt{d^2 - h^2} \quad\text{и}\quad b = h
\]

Подставляем значения:

\[
a = \sqrt{10^2 - 12^2} = \sqrt{100 - 144} = \sqrt{44} \approx 6.63
\]

Теперь находим площадь одного основания:

\[
S_{\text{осн}} = a \cdot b = 6.63 \cdot 12 \approx 79.56
\]

Чтобы найти площадь боковых граней, нам необходимо умножить периметр основания на высоту призмы. Правильная четырехугольная призма имеет равные стороны, поэтому периметр можно найти как удвоенную сумму двух соседних сторон:

\[
P = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (\sqrt{44} + 12) \approx 2 \cdot (6.63 + 12) \approx 2 \cdot 18.63 \approx 37.26
\]

Теперь находим площадь боковых граней:

\[
S_{\text{бок}} = P \cdot h = 37.26 \cdot 12 = 447.12
\]

Наконец, чтобы найти полную площадь поверхности призмы, нужно сложить площадь основания и площадь боковых граней:

\[
S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 79.56 + 447.12 = 526.68
\]

Таким образом, площадь поверхности данной призмы равна приблизительно 526.68 квадратных сантиметров.

Чтобы найти объем призмы, нужно умножить площадь основания на высоту:

\[
V_{\text{призмы}} = S_{\text{осн}} \cdot h = 79.56 \cdot 12 = 954.72
\]

Поэтому объем этой призмы равен 954.72 кубических сантиметра.

2) Основание правильной треугольной пирамиды - равносторонний треугольник, у которого все стороны равны.

Дано: длина основания \(a = 4\) см и длина бокового ребра \(l = 5\) см.

Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти, используя формулу:

\[
S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot P_{\text{осн}} \cdot l
\]

где \(P_{\text{осн}}\) - периметр основания пирамиды.

Так как основание пирамиды - равносторонний треугольник, его периметр можно найти как утроенное значение одной стороны:

\[
P_{\text{осн}} = 3 \cdot a = 3 \cdot 4 = 12
\]

Теперь находим площадь боковой поверхности:

\[
S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30
\]

Объем пирамиды можно найти, используя формулу:

\[
V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h
\]

Здесь \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды, которую можно найти как площадь равностороннего треугольника со стороной \(a\), а \(h\) - высота пирамиды, которая может быть найдена с использованием теоремы Пифагора:

\[
h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 - \left(\frac{4}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21} \approx 4.58
\]

Теперь находим площадь основания:

\[
S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16 = 4\sqrt{3} \approx 6.93
\]

Теперь находим объем пирамиды:

\[
V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} \cdot 6.93 \cdot 4.58 \approx 10.01
\]

Поэтому площадь боковой поверхности данной пирамиды равна 30 квадратных сантиметров, а объем пирамиды составляет приблизительно 10.01 кубический сантиметр.