№1. Какова площадь поверхности цилиндра с высотой 8 см, если осевым сечением является квадрат? Какова площадь боковой

Хорошо, давайте начнем с решения первой задачи.

1. Для рассчета площади поверхности цилиндра нам нужно рассмотреть две составляющие: площадь основания и площадь боковой поверхности.

- Площадь основания: так как осевым сечением является квадрат, то сторона квадрата будет равна диаметру окружности, поскольку они равны. Радиус окружности можно найти, разделив диаметр на 2. Таким образом, радиус равен 8 / 2 = 4 см. Площадь квадрата вычисляется как сторона в квадрате, то есть 4 * 4 = 16 см².

- Площадь боковой поверхности: боковая поверхность цилиндра представляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра, а ширина - окружности основания. Длина окружности можно найти с помощью формулы \(2 \pi r\), где \(r\) - радиус окружности. Мы уже рассчитали радиус в предыдущем пункте как 4 см, поэтому длина окружности будет \(2 \pi \cdot 4 \approx 25,13\) см. Итак, площадь боковой поверхности будет равна \(25,13 \cdot 8 = 201,04\) см².

Теперь, чтобы найти общую площадь поверхности цилиндра, мы складываем площадь основания и площадь боковой поверхности: \(16 + 201,04 = 217,04\) см².

2. Теперь перейдем к заданию про площадь боковой поверхности конуса.

- Осевым сечением является прямоугольный треугольник, поэтому площадь основания конуса будет равна площади этого треугольника. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \(П = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\), где \(a\) и \(b\) - катеты треугольника. В нашем случае, высота треугольника равна 8 см, и зная, что катеты треугольника равны диаметру окружности, мы можем найти площадь основания конуса. Так как диаметр равен 8 см, то длина катетов будет также равна 8 см. Поэтому площадь основания равна \(\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32\) см².

- Чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, мы должны вычислить площадь боковой поверхности прямой многоугольной призмы, которую можно вписать в этот конус. Такая призма будет иметь высоту 8 см и сторону основания, равную периметру прямоугольного треугольника. Мы уже рассчитали площадь основания как 32 см², поэтому площадь боковой поверхности прямой многоугольной призмы тоже будет 32 см². Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна 32 см².

Теперь, чтобы найти общую площадь поверхности конуса, мы складываем площадь основания и площадь боковой поверхности: \(32 + 32 = 64\) см².

3. Перейдем к вычислению объема цилиндра.

- Объем цилиндра вычисляется по формуле: \(V = S \cdot h\), где \(S\) - площадь основания цилиндра, а \(h\) - его высота. Мы уже рассчитали площадь основания как 16 см², а высоту задана как 8 см. Подставляем значения в формулу: \(V = 16 \cdot 8 = 128\) см³.

Теперь перейдем ко второму заданию про объем пирамиды.

1. Мы знаем, что у основания пирамиды правильный треугольник, радиус вписанной в него окружности равен 6 см.

- Правильный треугольник характеризуется равными сторонами, поэтому сторона треугольника будет также равна 6 см.

- Чтобы найти площадь основания пирамиды, мы используем формулу для площади правильного треугольника: \(П = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\), где \(a\) - сторона треугольника. Подставляя значения, получаем \(П = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2\) см², что примерно равно 15,59 см².

- Объем пирамиды вычисляется по формуле: \(V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\), где \(S\) - площадь основания, а \(h\) - высота пирамиды. Из условия задачи дано, что две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а третья грань образует угол с плоскостью основания. При таких условиях, высота пирамиды будет равна радиусу вписанной окружности, т.е. 6 см. Подставляя значения в формулу, получаем \(V = \frac{1}{3} \cdot 15,59 \cdot 6 \approx 31,18\) см³.

Таким образом, объем пирамиды равен примерно 31,18 см³.