1. Какова площадь полной поверхности и объем цилиндра, если у него диаметр находится вдоль меньшей стороны

Решение:

1. Для нахождения площади полной поверхности цилиндра, мы должны найти площадь боковой поверхности и площадь основания. Для начала определим параметры цилиндра.

Дано:
Ширина прямоугольника (сторона, параллельная основанию цилиндра) = 11 см
Длина прямоугольника (сторона, перпендикулярная основанию цилиндра) = 6 см

Так как диаметр цилиндра соответствует ширине прямоугольника, радиус цилиндра будет равен половине ширины прямоугольника. Следовательно, радиус \(r\) цилиндра будет равен:

\[r = \frac{{\text{{ширина прямоугольника}}}}{2} = \frac{11}{2} = 5.5 \, \text{{см}}\]

Площадь основания цилиндра (круга) можно найти, используя формулу:
\[S_{\text{{осн}}} = \pi \cdot r^2\]

Учитывая, что радиус \(r = 5.5\) см, получаем:
\[S_{\text{{осн}}} = \pi \cdot 5.5^2 \, \text{{см}}^2\]

Теперь найдем площадь боковой поверхности цилиндра, которая представляет собой прямоугольник со сторонами равными высоте цилиндра \(h\) (равной стороне прямоугольника) и окружности с радиусом \(r\). Площадь боковой поверхности цилиндра \(S_{\text{{бок}}}\) определяется по формуле:
\[S_{\text{{бок}}} = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h\]

Учитывая, что \(h = 6\) см и \(r = 5.5\) см, получаем:
\[S_{\text{{бок}}} = 2 \cdot \pi \cdot 5.5 \cdot 6 \, \text{{см}}^2\]

Теперь можно найти площадь полной поверхности цилиндра (сумма площади основания и площади боковой поверхности):
\[S_{\text{{полн}}} = S_{\text{{осн}}} + S_{\text{{бок}}}\]

Подставляя значения, получаем:
\[S_{\text{{полн}}} = \pi \cdot 5.5^2 + 2 \cdot \pi \cdot 5.5 \cdot 6 \, \text{{см}}^2\]

Теперь, чтобы найти объем цилиндра \(V\), мы используем формулу:
\[V = \pi \cdot r^2 \cdot h\]

Подставляя значения, получаем:
\[V = \pi \cdot 5.5^2 \cdot 6 \, \text{{см}}^3\]

2. Чтобы найти площадь осевого сечения, полученного вращением прямоугольного треугольника, мы должны найти площадь круга, проектируемого в результате вращения треугольника вокруг более длинного катета.

Дано:
Катет треугольника = 5 см
Гипотенуза треугольника = 13 см

Чтобы найти радиус \(r\) круга, описанного вокруг более длинного катета треугольника, мы используем половину гипотенузы:
\[r = \frac{{\text{{гипотенуза}}}}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \, \text{{см}}\]

Теперь можем найти площадь осевого сечения через формулу:
\[S_{\text{{осев}}} = \pi \cdot r^2\]

Подставляя значение радиуса, получаем:
\[S_{\text{{осев}}} = \pi \cdot 6.5^2 \, \text{{см}}^2\]

3. Для нахождения площади поверхности шара, когда дана плоскость сечения, удаляющаяся от центра на 5 см и представляющая собой круг площадью 144π см², мы должны использовать формулу для площади поверхности шара, которая состоит из суммы площади сферического капа и площади сечения.

Дано:
Площадь круга сечения = 144π см²
Расстояние от центра шара до плоскости сечения = 5 см

Площадь поверхности шара равна \(S_{\text{{полн}}} = 4 \pi R^2\), где \(R\) - радиус шара.

Чтобы найти радиус шара, мы можем использовать теорему Пифагора, так как при удалении от центра шара на 5 см прямоугольный треугольник образован с радиусом шара, расстоянием до плоскости сечения и радиусом круга сечения.
\[R^2 = r^2 + (r + h)^2\]

Где \(r\) - радиус круга сечения (находимый из площади круга сечения), а \(h\) - высота капа (расстояние от центра шара до плоскости сечения).

Решим уравнение для нахождения \(R\).

Сначала найдем радиус круга сечения:
\[S_{\text{{осев}}} = \pi \cdot r^2 = 144\pi \, \text{{см}}^2\]

Тогда:
\[r^2 = \frac{{144\pi}}{{\pi}} = 144 \, \text{{см}}^2\]

Радиус \(r\) равен:
\[r = \sqrt{144} = 12 \, \text{{см}}\]

Теперь найдем \(R\):
\[R^2 = 12^2 + (12 + 5)^2 = 12^2 + 17^2\]
\[R^2 = 144 + 289 = 433\]
\[R = \sqrt{433} \, \text{{см}}\]

Теперь, подставляя значение радиуса \(R\), можем найти площадь поверхности шара:
\[S_{\text{{полн}}} = 4 \pi \cdot R^2 = 4 \pi \cdot 433 \, \text{{см}}^2\]

4. Цилиндрический объект может содержать различные вещи внутри себя, в зависимости от того, как он используется. Например, в цилиндрической банке может храниться пищевой продукт или жидкость. В цилиндрах с открытой верхней частью может располагаться ручка, карандаш или линейка. Исходя из формы и функции цилиндра, его внутреннее содержимое может варьироваться.