1. Какова общая сумма углов многоугольника, образованного пересечением треугольников АВС и МНК, если известны

1. Для решения этой задачи, мы можем использовать свойство, что сумма углов внутри любого треугольника равна 180 градусам. Также, мы можем использовать формулу для нахождения расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Давайте найдем сначала длины сторон треугольника АВС. Для этого применим формулу:

AB = \(\sqrt{{(-3 - (-2))^2 + (3 - (-4))^2}} = \sqrt{{1^2 + 7^2}} = \sqrt{{1 + 49}} = \sqrt{{50}}\)

BC = \(\sqrt{{(3 - (-3))^2 + (2 - 3)^2}} = \sqrt{{6^2 + 1^2}} = \sqrt{{36 + 1}} = \sqrt{{37}}\)

CA = \(\sqrt{{(3 - (-2))^2 + (2 - (-4))^2}} = \sqrt{{5^2 + 6^2}} = \sqrt{{25 + 36}} = \sqrt{{61}}\)

Теперь найдем длины сторон треугольника МНК:

MN = \(\sqrt{{(-4 - 2)^2 + (-1 - 5)^2}} = \sqrt{{(-6)^2 + (-6)^2}} = \sqrt{{36 + 36}} = \sqrt{{72}} = 6\sqrt{{2}}\)

NK = \(\sqrt{{(1 - 2)^2 + (4 - (-3))^2}} = \sqrt{{(-1)^2 + 7^2}} = \sqrt{{1 + 49}} = \sqrt{{50}}\)

KM = \(\sqrt{{(2 - (-4))^2 + (-2 - 1)^2}} = \sqrt{{6^2 + (-3)^2}} = \sqrt{{36 + 9}} = \sqrt{{45}} = 3\sqrt{{5}}\)

Теперь, чтобы найти углы треугольника АВС, мы можем использовать закон косинусов:

\(\cos{A} = \frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}}\)

\(\cos{B} = \frac{{a^2 + c^2 - b^2}}{{2ac}}\)

\(\cos{C} = \frac{{a^2 + b^2 - c^2}}{{2ab}}\)

где \(a, b, c\) - длины сторон треугольника, а \(A, B, C\) - углы противолежащие этим сторонам.

Давайте найдем каждый угол в градусах:

Угол A:
\(A = \arccos{\left(\frac{{\sqrt{{50}}^2 + \sqrt{{61}}^2 - 37}}{{2 \cdot \sqrt{{50}} \cdot \sqrt{{61}}}}\right)} = \arccos{\left(\frac{{50 + 61 - 37}}{{2 \cdot \sqrt{{50}} \cdot \sqrt{{61}}}}\right)} = \arccos{\left(\frac{{74}}{{2 \cdot \sqrt{{28050}}}}\right)} \approx 56.20°\)

Угол B:
\(B = \arccos{\left(\frac{{\sqrt{{50}}^2 + 37^2 - \sqrt{{61}}^2}}{{2 \cdot \sqrt{{50}} \cdot 37}}\right)} = \arccos{\left(\frac{{50 + 37^2 - 61}}{{2 \cdot \sqrt{{50}} \cdot 37}}\right)} = \arccos{\left(\frac{{1344}}{{74 \cdot \sqrt{{50}}}}\right)} \approx 79.62°\)

Угол C:
\(C = \arccos{\left(\frac{{\sqrt{{61}}^2 + 37^2 - \sqrt{{50}}^2}}{{2 \cdot \sqrt{{61}} \cdot 37}}\right)} = \arccos{\left(\frac{{61 + 37^2 - 50}}{{2 \cdot \sqrt{{61}} \cdot 37}}\right)} = \arccos{\left(\frac{{1404}}{{74 \cdot \sqrt{{61}}}}\right)} \approx 44.18°\)

Теперь найдем углы треугольника МНК, используя ту же формулу:

Угол M:
\(M = \arccos{\left(\frac{{6\sqrt{{2}}}^2 + 3\sqrt{{5}}^2 - \sqrt{{45}}^2}}{{2 \cdot 6\sqrt{{2}} \cdot 3\sqrt{{5}}}}\right)} = \arccos{\left(\frac{{72 + 45 - 45}}{{2 \cdot 6\sqrt{{2}} \cdot 3\sqrt{{5}}}}\right)} = \arccos{\left(\frac{{72}}{{6\sqrt{{2}} \cdot 3\sqrt{{5}}}}\right)} \approx 34.06°\)

Угол N:
\(N = \arccos{\left(\frac{{\sqrt{{45}}^2 + 50^2 - 2 \cdot 6\sqrt{{2}} \cdot 3\sqrt{{5}} \cdot 50}}{{2 \cdot \sqrt{{45}} \cdot 50}}\right)} = \arccos{\left(\frac{{45 + 2500 - 360\sqrt{{10}}}}{{2 \cdot \sqrt{{45}} \cdot 50}}\right)} = \arccos{\left(\frac{{2545 - 360\sqrt{{10}}}}{{2 \cdot \sqrt{{2025}} \cdot 50}}\right)} \approx 44.40°\)

Угол K:
\(K = \arccos{\left(\frac{{50^2 + 45^2 - \sqrt{{45}}^2}}{{2 \cdot 50 \cdot 45}}\right)} = \arccos{\left(\frac{{2500 + 2545 - 45}}{{2 \cdot 50 \cdot 45}}\right)} = \arccos{\left(\frac{{5000}}{{4500}}\right)} \approx 30.96°\)

Теперь мы можем найти общую сумму углов многоугольника, образованного пересечением треугольников АВС и МНК:

\(Общая \enspace сумма \enspace углов = A + B + C + M + N + K\)

Давайте вычислим ее значение:

\(Общая \enspace сумма \enspace углов = 56.20° + 79.62° + 44.18° + 34.06° + 44.40° + 30.96° \approx 289.42°\)

Таким образом, общая сумма углов многоугольника, образованного пересечением треугольников АВС и МНК, составляет примерно 289.42 градуса.

2. Давайте найдем длину одной стороны правильного восьмиугольника, используя формулу:

\(Сторона = \frac{{Периметр}}{{Количество \enspace сторон}}\)

Для правильного восьмиугольника, количество сторон равно 8, а периметр составляет 96 см.

Теперь мы можем вычислить длину одной стороны:

\(Сторона = \frac{{96}}{{8}} = 12 \enspace см\)

Теперь давайте найдем величину угла между сторонами правильного восьмиугольника, используя формулу:

\(Величина \enspace угла = \frac{{360°}}{{Количество \enspace сторон}}\)

Для правильного восьмиугольника, количество сторон равно 8.

Теперь мы можем вычислить величину угла между сторонами:

\(Величина \enspace угла = \frac{{360°}}{{8}} = 45°\)

Таким образом, длина одной стороны правильного восьмиугольника составляет 12 см, а величина угла между сторонами равна 45°.