1. Какова общая масса двойной звезды Капелла, если ее орбита имеет большую полуось 0,85 а.е. и период обращения

1. Чтобы найти общую массу двойной звезды Капелла, мы можем использовать третий закон Кеплера. По этому закону, отношение кубов большой полуоси орбиты кубам периода обращения для двойных звезд одинаково и равно отношению сумм масс этих звезд к массе Солнца.

Коэффициент пропорциональности в выражении третьего закона Кеплера может быть найден из данных о Солнце. Масса Солнца равна приблизительно \(1.989 \times 10^{30}\) кг, большая полуось земной орбиты составляет 1 астрономическую единицу (а.е.), а период обращения равен приблизительно 365.25 дня.

Теперь мы можем найти массу двойной звезды Капелла. Подставим значения в выражения третьего закона Кеплера и решим уравнение:

\[\left(\dfrac{0.85}{1}\right)^3 = \left(\dfrac{M_{\text{Капелла}}}{1.989 \times 10^{30}}\right)\left(\dfrac{0.285}{365.25}\right)^2\]

Решим это уравнение:

\[\left(\dfrac{0.85}{1.989 \times 10^{30}}\right)^3 \times \left(\dfrac{0.285}{365.25}\right)^2 = M_{\text{Капелла}}\]

Рассчитаем значение:

\[M_{\text{Капелла}} \approx 9.493 \times 10^{29} \, \text{кг}\]

Таким образом, общая масса двойной звезды Капелла составляет примерно \(9.493 \times 10^{29}\) кг.

2. Чтобы определить, во сколько раз светимость Ригеля превышает светимость Солнца, мы можем использовать формулу светимости звезды:

\[m_1 - m_2 = -2.5\log_{10}\left(\dfrac{L_1}{L_2}\right)\]

где \(m_1\) и \(m_2\) - видимые звездные величины, \(L_1\) и \(L_2\) - светимости звезды. В данном случае Солнце и Ригель являются звездами, поэтому:

\[0.34 - (-26.74) = -2.5\log_{10}\left(\dfrac{L_{\text{Ригель}}}{L_{\text{Солнце}}}\right)\]

Решим это уравнение:

\[27.08 = -2.5\log_{10}\left(\dfrac{L_{\text{Ригель}}}{L_{\text{Солнце}}}\right)\]

\[\dfrac{-27.08}{-2.5} = \log_{10}\left(\dfrac{L_{\text{Ригель}}}{L_{\text{Солнце}}}\right)\]

Применим обратную функцию логарифма:

\[10^{\left(\dfrac{-27.08}{-2.5}\right)} = \dfrac{L_{\text{Ригель}}}{L_{\text{Солнце}}}\]

Рассчитаем значение:

\[\dfrac{L_{\text{Ригель}}}{L_{\text{Солнце}}} \approx 6.182 \times 10^{10}\]

Таким образом, светимость Ригеля превышает светимость Солнца примерно в \(6.182 \times 10^{10}\) раз.

3. Чтобы определить среднюю плотность красного сверхгиганта, мы можем использовать формулу плотности:

\[D = \dfrac{m}{V}\]

где \(D\) - плотность, \(m\) - масса и \(V\) - объем. Масса красного сверхгиганта составляет 30 раз больше массы Солнца, а его диаметр в 300 раз больше диаметра Солнца.

Диаметр Солнца составляет приблизительно \(1.39 \times 10^9\) метров. Тогда диаметр красного сверхгиганта будет равен:

\[300 \times 1.39 \times 10^9 = 4.17 \times 10^{11} \, \text{м}\]

Определим объем красного сверхгиганта:

\[\dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{4.17 \times 10^{11}}{2}\right)^3 = 5.16 \times 10^{32} \, \text{м}^3\]

Теперь рассчитаем плотность:

\[\dfrac{30 \times 1.989 \times 10^{30}}{5.16 \times 10^{32}} \approx 11.63 \, \text{кг/м}^3\]

Таким образом, средняя плотность красного сверхгиганта составляет примерно 11.63 кг/м³.