1. Какова начальная скорость частицы, если ее радиус-вектор зависит от времени по закону , где A, B, ω - постоянные

Задача 1:

Нам дана функция радиус-вектора частицы \( \vec{r}(t) = A \cos(\omega t) \vec{i} + B \sin(\omega t) \vec{j} + C \vec{k} \), где \( A \), \( B \), \( \omega \) - постоянные, \( i \), \( j \), \( k \) - единичные орты в декартовой системе координат.

Для начала определим константу \( C \). Зная, что \( \vec{r}(0) = A \cos(0) \vec{i} + B \sin(0) \vec{j} + C \vec{k} \), вектор начального положения частицы равен нулю: \( A \vec{i} + B \vec{j} + C \vec{k} = \vec{0} \). Таким образом, \( C = 0 \).

Теперь, найдем значение начальной скорости частицы, то есть производной по времени от радиус-вектора: \( \vec{v}(t) = \frac{d \vec{r}}{dt} = -A \omega \sin(\omega t) \vec{i} + B \omega \cos(\omega t) \vec{j} \).

Подставляя значение времени \( t = \tau \), получаем \( \vec{v}(\tau) = -A \omega \sin(\omega \tau) \vec{i} + B \omega \cos(\omega \tau) \vec{j} \).

Таким образом, начальная скорость частицы равна \( \vec{v}(\tau) = -A \omega \sin(\omega \tau) \vec{i} + B \omega \cos(\omega \tau) \vec{j} \).

Задача 2:

Нам дано, что частица движется по дуге окружности радиусом \( R = 1 \) м. Угол поворота зависит от времени по закону \( \phi(t) \).

Линейная скорость частицы находится по формуле \( v = \frac{ds}{dt} \), где \( s \) - длина дуги окружности, пройденной частицей, а \( t \) - время.

Чтобы найти длину дуги, воспользуемся формулой для длины дуги окружности: \( s = R \phi \).

Тогда линейная скорость частицы будет равна \( v(t) = \frac{d}{dt}(R \phi(t)) = R \frac{d\phi}{dt} \).

Задача 3:

Небольшой шарик с массой \( m \) летит под углом \( \alpha = 60^\circ \) к горизонту и падает на вертикальную стену.

Для нахождения линейной скорости шарика, нам необходимо знать начальную скорость \( v_0 \) и угол броска \( \alpha \).

Линейная скорость шарика, горизонтальная составляющая которой обозначается \( v_x \), может быть найдена по формуле \( v_x = v_0 \cos(\alpha) \).

Вертикальная составляющая линейной скорости обозначается \( v_y \) и может быть найдена по формуле \( v_y = v_0 \sin(\alpha) \).

Таким образом, линейная скорость шарика равна \( v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \), где \( v_x = v_0 \cos(\alpha) \) и \( v_y = v_0 \sin(\alpha) \).

Если вам нужно еще что-то пояснить или пошагово решить, пожалуйста, уточните.