1. Какова кинетическая энергия шара массой 3,8 кг и радиусом 10 см, вращающегося с частотой 1 об/с вокруг своей оси?

1. Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для кинетической энергии вращающегося тела. Кинетическая энергия $E_k$ связана с массой $m$ и угловой скоростью $\omega$ следующим образом:

$$E_k=\frac{1}{2}I{\omega }^2,$$

где $I$ - момент инерции шара.

Момент инерции шара можно вычислить, используя формулу для момента инерции тела сферической формы:

$$I=\frac{2}{5}m{r}^2,$$

где $r$ - радиус шара.

Подставим значения в формулы и найдем ответ:

$$I=\frac{2}{5}\cdot 3,8\text{кг}\cdot (0,1\text{м}{)}^2=0,076\text{кг}\cdot {\text{м}}^2.$$

Теперь найдем кинетическую энергию, подставив значения $I$ и $\omega$ в формулу для кинетической энергии:

$$E_k=\frac{1}{2}\cdot 0,076\text{кг}\cdot {\text{м}}^2\cdot (2\pi \text{рад/с}{)}^2\cdot (1\text{об/с}{)}^2=0,239\text{Дж}.$$

Таким образом, кинетическая энергия шара составляет 0,239 Дж.

2. Для решения этой задачи мы можем использовать закон сохранения импульса. Импульс тела определяется его массой $m$ и скоростью $v$.

После выстрела из пушки и откола пули, вся система (пушка и пуля) будет двигаться с общей скоростью ${\text{v}}_{\text{общ}}$.

Используем закон сохранения импульса для нашей системы. Импульс до выстрела равен импульсу после выстрела:

$m_1\cdot v_1=(m_1+m_2)\cdot v_{\text{общ}}$,

где $m_1$ и $v_1$ - масса и скорость пушки, $m_2$ - масса снаряда.

Теперь подставим числовые значения и решим уравнение:

$2000\text{кг}\cdot 0\text{м/с}=(2000\text{кг}+20\text{кг})\cdot v_{\text{общ}}$.

$0=2020\text{кг}\cdot v_{\text{общ}}$.

$v_{\text{общ}}=0\text{м/с}$.

Таким образом, скорость движения платформы с пушкой равна нулю.

3. Для решения этой задачи мы можем использовать закон сохранения момента импульса. Момент инерции $I$ связан с массой $m$ и квадратом частоты вращения $\omega$ следующим образом:

$I=k\cdot m\cdot r^2$,

где $r$ - радиус карусели, $k$ - постоянная зависящая от формы карусели.

Если момент инерции увеличился в 1,3 раза, то $I_2=1,3\cdot I_1$, где $I_1$ - изначальный момент инерции карусели, $I_2$ - новый момент инерции после запрыгивания мальчика.

Также, частота вращения $\omega$ связана с моментом инерции $I$ следующим образом:

$I_1\cdot {\omega }_1=I_2\cdot {\omega }_2$.

Подставим значения и решим уравнение:

$k\cdot m\cdot r^2\cdot 1\text{об/с}=1,3\cdot k\cdot m\cdot r^2\cdot {\omega }_2$.

$1\cdot \text{об/с}=1,3\cdot {\omega }_2$.

${\omega }_2=\frac{1}{1,3}\cdot \text{об/с}=0,769\text{об/с}$.

Таким образом, частота вращения карусели стала равной 0,769 оборотов в секунду.