1. Какова кинетическая энергия шара массой 3,8 кг и радиусом 10 см, вращающегося с частотой 1 об/с вокруг своей оси?

1. Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для кинетической энергии вращающегося тела. Кинетическая энергия \(E_k\) связана с массой \(m\) и угловой скоростью \(\omega\) следующим образом:

\[E_k = \frac{1}{2} I \omega^2,\]

где \(I\) - момент инерции шара.

Момент инерции шара можно вычислить, используя формулу для момента инерции тела сферической формы:

\[I = \frac{2}{5} m r^2,\]

где \(r\) - радиус шара.

Подставим значения в формулы и найдем ответ:

\[I = \frac{2}{5} \cdot 3,8 \, \text{кг} \cdot (0,1 \, \text{м})^2 = 0,076 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2.\]

Теперь найдем кинетическую энергию, подставив значения \(I\) и \(\omega\) в формулу для кинетической энергии:

\[E_k = \frac{1}{2} \cdot 0,076 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot (2\pi \, \text{рад/с})^2 \cdot (1 \, \text{об/с})^2 = 0,239 \, \text{Дж}.\]

Таким образом, кинетическая энергия шара составляет 0,239 Дж.

2. Для решения этой задачи мы можем использовать закон сохранения импульса. Импульс тела определяется его массой \(m\) и скоростью \(v\).

После выстрела из пушки и откола пули, вся система (пушка и пуля) будет двигаться с общей скоростью \(\text{v}_{\text{общ}}\).

Используем закон сохранения импульса для нашей системы. Импульс до выстрела равен импульсу после выстрела:

\(m_1 \cdot v_1 = (m_1 + m_2) \cdot v_{\text{общ}}\),

где \(m_1\) и \(v_1\) - масса и скорость пушки, \(m_2\) - масса снаряда.

Теперь подставим числовые значения и решим уравнение:

\(2000 \, \text{кг} \cdot 0 \, \text{м/с} = (2000 \, \text{кг} + 20 \, \text{кг}) \cdot v_{\text{общ}}\).

\(0 = 2020 \, \text{кг} \cdot v_{\text{общ}}\).

\(v_{\text{общ}} = 0 \, \text{м/с}\).

Таким образом, скорость движения платформы с пушкой равна нулю.

3. Для решения этой задачи мы можем использовать закон сохранения момента импульса. Момент инерции \(I\) связан с массой \(m\) и квадратом частоты вращения \(\omega\) следующим образом:

\(I = k \cdot m \cdot r^2\),

где \(r\) - радиус карусели, \(k\) - постоянная зависящая от формы карусели.

Если момент инерции увеличился в 1,3 раза, то \(I_2 = 1,3 \cdot I_1\), где \(I_1\) - изначальный момент инерции карусели, \(I_2\) - новый момент инерции после запрыгивания мальчика.

Также, частота вращения \(\omega\) связана с моментом инерции \(I\) следующим образом:

\(I_1 \cdot \omega_1 = I_2 \cdot \omega_2\).

Подставим значения и решим уравнение:

\(k \cdot m \cdot r^2 \cdot 1 \, \text{об/с} = 1,3 \cdot k \cdot m \cdot r^2 \cdot \omega_2\).

\(1 \cdot \text{об/с} = 1,3 \cdot \omega_2\).

\(\omega_2 = \frac{1}{1,3} \cdot \text{об/с} = 0,769 \, \text{об/с}\).

Таким образом, частота вращения карусели стала равной 0,769 оборотов в секунду.