1. Какова длина стороны основания прямоугольного параллелепипеда, если она в пять раз меньше высоты, а объем

1. Для решения этой задачи нам необходимо использовать информацию о соотношении длины стороны основания с высотой прямоугольного параллелепипеда и его объеме.

Обозначим длину стороны основания прямоугольного параллелепипеда как \( a \), а высоту - как \( h \).

Исходя из условия задачи, у нас есть два соотношения:

1) \( a = \frac{h}{5} \)
2) \( a \cdot a \cdot h = 3645 \)

Для решения первого уравнения, умножим обе его стороны на 5:

\( 5a = h \).

Теперь подставим этот результат во второе уравнение:

\( a \cdot a \cdot 5a = 3645 \).

Упростим это уравнение:

\( 5a^3 = 3645 \).

Разделим обе стороны на 5:

\( a^3 = \frac{3645}{5} \).

Вычислим значение правой части:

\( a^3 = 729 \).

Теперь найдем кубический корень из обеих сторон:

\( a = \sqrt[3]{729} \).

Вычислим кубический корень:

\( a = 9 \).

Таким образом, длина стороны основания прямоугольного параллелепипеда равна 9.

2. Чтобы найти отношение объемов двух прямоугольных параллелепипедов, нам нужно знать размеры каждого из них. Обозначим размеры первого параллелепипеда как \( a_1 \), \( b_1 \), \( c_1 \), а размеры второго параллелепипеда как \( a_2 \), \( b_2 \), \( c_2 \).

Исходя из условия задачи, у нас есть следующее соотношение:

\( a_1 = 4a_2 \)
\( b_1 = 4b_2 \)
\( c_1 = 4c_2 \)

Теперь мы можем использовать формулу для объема параллелепипеда: \( V = a \cdot b \cdot c \).

Обозначим объемы первого и второго параллелепипедов как \( V_1 \) и \( V_2 \) соответственно.

Используя соотношения размеров, мы можем написать:

\( V_1 = (a_1 \cdot b_1 \cdot c_1) \) и
\( V_2 = (a_2 \cdot b_2 \cdot c_2) \).

Подставим известные соотношения:

\( V_1 = (4a_2 \cdot 4b_2 \cdot 4c_2) \) и
\( V_2 = (a_2 \cdot b_2 \cdot c_2) \).

Упростим выражения:

\( V_1 = 64(a_2 \cdot b_2 \cdot c_2) \).

Теперь, чтобы найти отношение объемов, поделим \( V_1 \) на \( V_2 \):

\( \frac{V_1}{V_2} = \frac{64(a_2 \cdot b_2 \cdot c_2)}{(a_2 \cdot b_2 \cdot c_2)} \).

Упростим это выражение:

\( \frac{V_1}{V_2} = 64 \).

Таким образом, объем первого параллелепипеда больше объема второго в 64 раза.