1. Какова длина меньшего катета прямоугольного треугольника, если его площадь равна 90 и один из катетов больше другого

Решение:

1. Для решения этой задачи нам нужно использовать формулу для площади прямоугольного треугольника: \( S = \frac{1}{2} \times a \times b \), где \( a \) и \( b \) - катеты треугольника.

По условию задачи у нас есть следующая информация:
Площадь треугольника \( S = 90 \);
Один катет больше другого на 3: \( a = b + 3 \).

Мы можем заменить переменные в формуле и получить уравнение для нахождения размеров катетов:
\( 90 = \frac{1}{2} \times (b + 3) \times b \).

Раскроем скобки и упростим выражение:
\( 90 = \frac{1}{2} \times (b^2 + 3b) \).
Умножим все члены уравнения на 2:
\( 180 = b^2 + 3b \).

Мы получили квадратное уравнение. Приведем его к стандартному виду:
\( b^2 + 3b - 180 = 0 \).

Теперь решим это уравнение с помощью факторизации или квадратного корня. Поделим коэффициенты на 3, чтобы упростить выражение:
\( b^2 + b - 60 = 0 \).

Разложим коэффициенты \( b^2 + b \) на два сомножителя:
\( (b + 10)(b - 6) = 0 \).

Из этого мы получаем две возможные величины катетов: \( b = -10 \) или \( b = 6 \).

Очевидно, что длина катета не может быть отрицательной, поэтому \( b = 6 \).

Так как по условию задачи один катет должен быть больше другого на 3, то \( a = b + 3 = 6 + 3 = 9 \).

Ответ: Длина меньшего катета прямоугольного треугольника равна 6.

2. Чтобы найти угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника, нужно знать, что биссектриса каждого острого угла делит угол пополам.

В прямоугольном треугольнике сумма всех углов равна 180 градусам. Поскольку угол противолежащий прямому углу равен 90 градусам, сумма двух острых углов составляет 90 градусов.

Теперь разделим каждый из этих углов пополам, чтобы найти угол между биссектрисами.

Каждая биссектриса делит свой угол на две равные части, поэтому угол между биссектрисами будет равен сумме половинок острых углов.

У нас есть два острых угла по 45 градусов, так как они пополам от прямого угла.

Поэтому угол между биссектрисами будет равен \( 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \).

Ответ: Угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника составляет 90 градусов.