1. Какова длина линии, на которой пересекается плоскость, проходящая через сферу радиусом 10 см на расстоянии 6

Хорошо, давайте начнем с решения каждой задачи.

1. Для определения длины линии, на которой пересекается плоскость, проходящая через сферу, нам необходимо использовать теорему Пифагора. Длина линии будет равна гипотенузе прямоугольного треугольника, а катетом будет расстояние между центром сферы и плоскостью, а другим катетом будет радиус сферы. Имея два катета, мы можем найти гипотенузу по формуле \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\).

В данной задаче, радиус сферы \(r = 10\) см, а расстояние от центра сферы до плоскости \(d = 6\) см. Тогда мы можем найти длину линии, используя формулу:

\[c = \sqrt{r^2 - d^2}\]
\[c = \sqrt{10^2 - 6^2}\]
\[c = \sqrt{100 - 36}\]
\[c = \sqrt{64}\]
\[c = 8\]

Таким образом, длина линии, на которой пересекается плоскость, равна 8 см.

2. Для определения площади поверхности шара, мы должны знать радиус шара. В данной задаче, расстояние от центра шара до касательной плоскости \(d = 5\) см. Так как плоскость касается шара, линия, соединяющая центр шара и точку касания плоскости, будет перпендикулярна плоскости.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле \(S = 4\pi r^2\). Мы можем использовать эту формулу и сделать следующее:

Поскольку радиус шара проходит через точку касания плоскости с шаром, он также является гипотенузой прямоугольного треугольника, а расстояние между центром шара и плоскостью - это один из катетов.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти радиус шара по формуле:

\[r = \sqrt{d^2 + r_p^2}\]
\[r_p = \sqrt{r^2 - d^2}\]
\[r_p = \sqrt{\frac{S}{4\pi} - d^2}\]
\[r_p = \sqrt{\frac{16\pi}{4\pi} - 5^2}\]
\[r_p = \sqrt{\frac{4 - 25}{4}}\]
\[r_p = \sqrt{\frac{-21}{4}}\]

Однако, значение под корнем получилось отрицательным, что не имеет математического смысла. Из этого следует, что такое расстояние \(d\) невозможно.

Таким образом, мы не можем определить площадь поверхности шара, исходя из данной информации.

3. Чтобы понять, что представляет собой площадь сечения шара, нам нужно рассмотреть задачу подробнее. Так как диаметр шара равен 8, то радиус \(r = 4\) см. Понимание площади сечения шара связано с пониманием угла наклона плоскости.

Плоскость, проходящая через конец диаметра под углом 45 градусов к нему, создает два сечения шара. Одно сечение расположено внутри шара, а другое - вне шара. Почти все площади сечений шара (за исключением очень маленькой области) равны площади кругов с радиусом, равным расстоянию от центра шара до пересечения плоскости с шаром.

Таким образом, площадь сечения шара равна площади круга, вычисляемой по формуле \(S = \pi r^2\), где радиус \(r\) - это расстояние от центра шара до места пересечения с плоскостью.

В данном случае, расстояние от центра шара до плоскости равно расстоянию от центра шара до конца диаметра. Половина диаметра равна 4, поэтому площадь сечения шара будет равна:

\[S = \pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = \pi \cdot 16 = 16\pi\]

Таким образом, площадь сечения шара равна 16\(\pi\) квадратных сантиметров.

4. Для определения радиуса сферы, описанной около куба, мы должны использовать связь между радиусом сферы и площадью его вписанного куба.

Площадь вписанного в сферу куба равна \(16\pi\). Мы можем использовать это значение и определить радиус сферы.

Радиус сферы будет равен половине длины диагонали куба. Поскольку куб - это прямоугольный параллелепипед, его диагональ будет равна:

\[d = a\sqrt{3}\]

где \(a\) - длина стороны куба.

Таким образом, радиус сферы будет равен:

\[r = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]

Площадь вписанного в куб сферы равна:

\[S = 6a^2 = 16\pi\]

Используя это равенство, мы можем найти \(a\):

\[a^2 = \frac{16\pi}{6} = \frac{8\pi}{3}\]

\[a = \sqrt{\frac{8\pi}{3}}\]

Тогда радиус сферы будет равен:

\[r = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{\frac{8\pi}{3}}\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{8\pi}}{2} = \frac{2\sqrt{2\pi}}{2} = \sqrt{2\pi}\]

Таким образом, радиус сферы, описанной около куба, равен \(\sqrt{2\pi}\) см.