1. Какова длина биссектрисы второго острого угла прямоугольного треугольника, если известно, что катет, прилежащий

Первая задача:
У нас есть прямоугольный треугольник, в котором известна длина катета, прилежащего к углу 30°, а мы хотим найти длину биссектрисы второго острого угла.
Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать теорему синусов.
Согласно теореме синусов, соотношение между стороной треугольника и синусом противолежащего ей угла выражается следующей формулой:

\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}\]

Где a и b - стороны треугольника, а A и B - соответствующие углы. В нашем случае сторона a - это длина катета, прилежащего к углу 30°, стороной b будет являться биссектриса второго острого угла, а углы A и B соответственно равны 30° и 45°.

Мы знаем, что длина катета равна 18 см, а угол A равен 30°. Теперь, используя теорему синусов, мы можем найти длину биссектрисы:

\[\frac{18}{\sin(30°)} = \frac{b}{\sin(45°)}\]

Можно продолжить решение, находя значения синусов углов, но я предлагаю использовать таблицу значений тригонометрических функций для углов 30° и 45°:

\[
\begin{align*}
\sin(30°) & = 0.5\\
\sin(45°) & = 0.707
\end{align*}
\]

Теперь мы можем подставить значения в формулу:

\[\frac{18}{0.5} = \frac{b}{0.707}\]

Чтобы найти длину биссектрисы второго острого угла, нужно решить уравнение:

\[b = \frac{18 \times 0.707}{0.5}\]

Получим:

\[b \approx 25.254 \, \text{см}\]

Таким образом, длина биссектрисы второго острого угла прямоугольного треугольника составляет около 25.254 см.

Вторая задача:
У нас есть равнобедренный треугольник, в котором известна длина боковой стороны и один из углов при вершине, а мы хотим найти длину медианы, проведенной к основанию треугольника.
Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться теоремой косинусов.
Согласно теореме косинусов, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, умноженной на два минус произведение этих сторон на косинус угла между ними.
В нашем случае сторона a - это длина медианы, стороны b и c - боковые стороны треугольника, а угол A - угол при вершине.

Мы знаем, что угол A равен 120°, а длина боковой стороны равна 47.8 см. Теперь, используя теорему косинусов, мы можем найти длину медианы:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2 \times b \times c \times \cos(A)\]

\[a^2 = 47.8^2 + 47.8^2 - 2 \times 47.8 \times 47.8 \times \cos(120°)\]

Если мы заменим косинус угла 120° на его значение, полученное из таблицы косинусов, то мы можем продолжить решение:

\[\cos(120°) = -0.5\]

\[a^2 = 47.8^2 + 47.8^2 - 2 \times 47.8 \times 47.8 \times (-0.5)\]

Вычисляем это выражение и получаем:

\[a^2 \approx 3948.02\]

Для того чтобы найти длину медианы, нужно извлечь квадратный корень из значения a^2:

\[a \approx \sqrt{3948.02}\]

По расчетам:

\[a \approx 62.86 \, \text{см}\]

Таким образом, длина медианы, проведенной к основанию равнобедренного треугольника, составляет около 62.86 см.

Третья задача:
У нас есть прямоугольный треугольник, в котором известны угол А, длина гипотенузы и высота, опущенная на гипотенузу. Мы хотим найти периметр треугольника.
Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать длины сторон треугольника.
Теорема Пифагора указывает на связь между длиной гипотенузы и катетами прямоугольного треугольника:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Где c - длина гипотенузы, a и b - длины катетов.
В нашем случае гипотенуза равна 34 см, а угол А равен 30°. Мы также знаем, что высота, опущенная на гипотенузу, равна h.
Теперь, чтобы найти периметр треугольника, нам нужно узнать длины всех трех сторон треугольника.

Мы можем использовать тригонометрические соотношения для вычисления значений катетов.
Мы знаем, что \(\sin(30°) = \frac{h}{c}\), поэтому мы можем выразить h следующим образом:

\[h = c \times \sin(30°)\]

Теперь мы можем приступить к вычислению значений катетов:

\[a = h = c \times \sin(30°)\]
\[a = 34 \times \sin(30°) = 34 \times 0.5 = 17 \, \text{см}\]

\[b = c - h = 34 - 17 = 17 \, \text{см}\]

Теперь у нас есть длины всех трех сторон треугольника: a = b = 17 см, c = 34 см.
Чтобы найти периметр треугольника, нужно сложить длины всех трех сторон:
\[P = a + b + c = 17 + 17 + 34 = 68 \, \text{см}\]

Таким образом, периметр прямоугольного треугольника равен 68 см.