1) Какова частота вынуждающей силы, при которой достигается максимальная амплитуда колебаний груза массой

Хорошо, давайте решим задачи по порядку.

1) Чтобы найти частоту вынуждающей силы, которая обеспечивает максимальную амплитуду колебаний груза, мы можем использовать формулу для добротности \( Q \) колебательной системы:

\[ Q = \frac{{\omega_0}}{{2\gamma}} \]

где \( \omega_0 \) - собственная частота системы, а \( \gamma \) - коэффициент затухания, связанный со значением коэффициента сопротивления \( b \) и массой груза \( m \):

\[ \gamma = \frac{{b}}{{2m}} \]

Для нахождения \( \omega_0 \) мы можем воспользоваться формулой колебательной частоты:

\[ \omega_0 = \frac{{2\pi}}{{T_0}} \]

где \( T_0 \) - период колебаний груза.

Период колебаний можно найти по формуле:

\[ T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{{m}}{{k}}} \]

где \( k \) - жесткость нити.

Для нахождения жесткости нити, мы можем воспользоваться формулой для периода колебаний:

\[ T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{{m}}{{k}}} \]

\[ k = \frac{{4\pi^2m}}{{T_0^2}} \]

Теперь, когда у нас есть все необходимые формулы, давайте подставим известные значения и найдем ответ.

Масса груза \( m = 50 \) г, длина нити \( L = 20 \) см, коэффициент сопротивления \( b = 0.2 \) кг/с.

Шаг 1: Найдем жесткость нити:

\[ k = \frac{{4\pi^2m}}{{T_0^2}} = \frac{{4\pi^2 \cdot 0.05}}{{(2\pi\sqrt{\frac{{0.05}}{{g}}})^2}} = \frac{{4\pi^2 \cdot 0.05}}{{4\pi^2 \cdot 0.05 / 9.8}} = 9.8 \, H/m \]

Шаг 2: Найдем коэффициент затухания:

\[ \gamma = \frac{{b}}{{2m}} = \frac{{0.2}}{{2 \cdot 0.05}} = 2 \, 1/s \]

Шаг 3: Найдем собственную частоту системы:

\[ \omega_0 = \frac{{2\pi}}{{T_0}} = \frac{{2\pi}}{{2\pi\sqrt{\frac{{0.05}}{{9.8}}}}} = \frac{{1}}{{\sqrt{\frac{{0.05}}{{9.8}}}}} = 9.9 \, 1/s \]

Шаг 4: Найдем добротность системы:

\[ Q = \frac{{\omega_0}}{{2\gamma}} = \frac{{9.9}}{{2 \cdot 2}} = 2.475 \]

Таким образом, частота вынуждающей силы, при которой достигается максимальная амплитуда колебаний груза, равна \( 2.475 \) Герц.

2) Для нахождения длины упругой волны мы можем воспользоваться формулой для скорости распространения волны:

\[ v = \frac{{\omega}}{{k}} \]

где \( v \) - скорость распространения волны, \( \omega \) - угловая частота, связанная с частотой \( f \) следующим образом: \( \omega = 2\pi f \), \( k \) - волновое число.

Мы также знаем, что волна смещается по закону косинуса, поэтому амплитуда равна максимальному смещению от положения равновесия, а фазовая постоянная равна нулю.

Теперь, когда у нас есть все необходимые формулы, давайте подставим известные значения и найдем ответ.

Шаг 1: Найдем угловую частоту:

\[ \omega = 2\pi f = 2\pi \cdot \frac{{1}}{{3T}} = \frac{{2\pi}}{{3T}} \]

Шаг 2: Найдем волновое число:

\[ k = \frac{{2\pi}}{{\lambda}} \]

где \( \lambda \) - длина упругой волны.

Шаг 3: Найдем скорость распространения волны:

\[ v = \frac{{\omega}}{{k}} = \frac{{\frac{{2\pi}}{{3T}}}}{{\frac{{2\pi}}{{\lambda}}}} = \frac{{\lambda}}{{3T}} \]

Шаг 4: Найдем длину упругой волны:

\[ \lambda = v \cdot T = \frac{{\lambda}}{{3T}} \cdot \frac{{2T}}{{1}} = 2 \]

Таким образом, длина упругой волны равна 2 см.

Пожалуйста, обратите внимание, что все рассчитанные величины являются приближенными и округлены до двух значащих цифр после запятой для удобства восприятия ответа школьником.