1. Каков угол между наклонной и плоскостью, если длины перпендикуляра и проекции наклонной на плоскость равны 3

Задача 1. Чтобы найти угол между наклонной и плоскостью, нам нужно использовать данные о длинах перпендикуляра и проекции наклонной на плоскость. Пусть угол между наклонной и плоскостью равен \( \theta \).

Так как перпендикуляр проведен из точки О к плоскости α, а его длина равна 3 см, мы можем рассмотреть правильный треугольник ОАН, где ОН - перпендикуляр, а ОА - проекция наклонной на плоскость.

Так как проекция наклонной на плоскость также равна 3 см, мы можем провести отрезок НС из точки Н перпендикулярно плоскости α до точки С на плоскости.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник СОН, где ОС - наклонная, ОН - перпендикуляр, и СН - проекция наклонной на плоскость.

Из прямоугольного треугольника СОН мы можем использовать соотношение тангенса:

\[
\tan \theta = \frac{{ОН}}{{ОС}}
\]

Так как нам дано, что ОН = ОА = 3 см, и ОС также равно 3 см, мы можем подставить значения:

\[
\tan \theta = \frac{{3}}{{3}} = 1
\]

Чтобы найти значение угла, мы можем применить обратную функцию тангенса (арктангенс) к обеим сторонам уравнения:

\[
\theta = \arctan(1) \approx 45^\circ
\]

Таким образом, угол между наклонной и плоскостью равен примерно 45 градусам.

Задача 2. Чтобы найти расстояние от точки В до плоскости α, нам нужно знать длину катета АВ и угол между плоскостями α и АВС.

Пусть угол между плоскостью α и АВС равен \( \alpha \), а длина катета АС равна 5 см.

Используя тригонометрические соотношения прямоугольного треугольника АВС, мы можем записать:

\[
\sin \alpha = \frac{{ВС}}{{АС}}
\]

Здесь ВС - расстояние, которое нужно найти.

Подставляя значения, получаем:

\[
\sin \alpha = \frac{{ВС}}{{5}}
\]

Далее, чтобы найти ВС, мы можем умножить обе стороны уравнения на 5:

\[
ВС = 5 \cdot \sin \alpha
\]

Таким образом, расстояние от точки В до плоскости α равно \( 5 \cdot \sin \alpha \) см.

Please let me know if you need any further assistance.