1) Каков радиус окружности, описанной вокруг правильного многоугольника со стороной длиной 10 см и радиусом вписанной

Давайте решим задачу по порядку.

1) Чтобы найти радиус \(R\) окружности, описанной вокруг правильного многоугольника, мы можем воспользоваться связью между радиусом вписанной окружности \(r\) и радиусом описанной окружности \(R\). Эта связь определяется формулой:

\[R = \frac{r}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}\]

где \(n\) - количество сторон многоугольника.

В нашем случае, радиус вписанной окружности \(r\) равен 5 см. И нам нужно найти радиус описанной окружности \(R\). Чтобы вычислить \(R\), нам нужно знать количество сторон многоугольника \(n\). Давайте найдём значение \(n\).

2) Чтобы найти количество сторон \(n\) правильного многоугольника, мы можем использовать формулу:

\[n = \frac{360}{\alpha}\]

где \(\alpha\) - центральный угол, образованный стороной многоугольника и центром окружности.

В нашем случае, длина стороны многоугольника равна 10 см. Мы также знаем, что рашиус вписанной окружности \(r\) также равен 5 см. Так как правильный многоугольник состоит из \(n\) равносторонних треугольников, мы можем найти угол каждого треугольника с помощью теоремы косинусов:

\[\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{10/2} = \frac{5}{5} = 1\]

Так как косинус \(1\) соответствует углу \(0\) градусов, мы можем сделать вывод, что каждый угол равен \(0\) градусов. Это означает, что многоугольник не существует, так как угол треугольника не может быть \(0\) градусов.

Итак, ответ на задачу: указанный в условии правильный многоугольник не существует, так как угол треугольника не может быть равен \(0\) градусов.