1. Каков период колебаний в контуре, если емкость конденсатора составляет 5 мкФ, а индуктивность катушки - 3 мГн?

1. Для определения периода колебаний в контуре, воспользуемся формулой:

\[ T = 2\pi\sqrt{LC} \]

Где:
\( T \) - период колебаний,
\( \pi \) - число Пи (приближенное значение 3.14),
\( L \) - индуктивность катушки,
\( C \) - емкость конденсатора.

Подставляем известные значения:

\[ T = 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{3 \cdot 10^{-3} \cdot 5 \cdot 10^{-6}} \]

Выполняем расчет:

\[ T \approx 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{15 \cdot 10^{-9}} \]
\[ T \approx 6.28 \cdot \sqrt{15 \cdot 10^{-9}} \]
\[ T \approx 6.28 \cdot 3.87 \cdot 10^{-5} \]
\[ T \approx 2.43 \cdot 10^{-4} \]

Таким образом, период колебаний в данном контуре составляет приблизительно \( 2.43 \cdot 10^{-4} \) секунды.

2. Аналогичным образом, для определения периода колебаний в контуре с другими значениями емкости и индуктивности, мы используем ту же формулу:

\[ T = 2\pi\sqrt{LC} \]

Подставляя известные значения:

\[ T = 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{5 \cdot 10^{-6} \cdot 10 \cdot 10^{-12}} \]

\[ T \approx 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{50 \cdot 10^{-18}} \]
\[ T \approx 2 \cdot 3.14 \cdot 7.07 \cdot 10^{-9} \]
\[ T \approx 4.43 \cdot 10^{-8} \]

Таким образом, период колебаний в данном контуре составляет приблизительно \( 4.43 \cdot 10^{-8} \) секунды.

3. Для определения частоты колебаний в контуре, можно использовать формулу:

\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

Где:
\( f \) - частота колебаний,
\( \pi \) - число Пи (приближенное значение 3.14),
\( L \) - индуктивность катушки,
\( C \) - емкость конденсатора.

Подставляем известные значения:

\[ f = \frac{1}{2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{3 \cdot 10^{-3} \cdot 2 \cdot 10^{-6}}} \]

Выполняем расчет:

\[ f = \frac{1}{2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{6 \cdot 10^{-9}}} \]
\[ f = \frac{1}{2 \cdot 3.14 \cdot 2.45 \cdot 10^{-4}} \]
\[ f = \frac{1}{1.53 \cdot 10^{-3}} \]
\[ f \approx 653.59 \]

Таким образом, частота колебаний в данном контуре составляет примерно \( 653.59 \) Гц.

4. Аналогично, для определения частоты колебаний в контуре с другими значениями емкости и индуктивности, мы используем ту же формулу:

\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

Подставляем известные значения:

\[ f = \frac{1}{2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{5 \cdot 10^{-6} \cdot 10 \cdot 10^{-12}}} \]

\[ f = \frac{1}{2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{50 \cdot 10^{-18}}} \]
\[ f = \frac{1}{2 \cdot 3.14 \cdot 7.07 \cdot 10^{-9}} \]
\[ f = \frac{1}{4.43 \cdot 10^{-8}} \]
\[ f \approx 2.26 \cdot 10^{7} \]

Таким образом, частота колебаний в данном контуре составляет примерно \( 2.26 \cdot 10^{7} \) Гц.

5. Чтобы определить емкость конденсатора в контуре с заданной частотой и индуктивностью катушки, мы воспользуемся формулой:

\[ C = \frac{1}{{(2\pi f)}^2 L} \]

Где:
\( C \) - емкость конденсатора,
\( \pi \) - число Пи (приближенное значение 3.14),
\( f \) - частота колебаний,
\( L \) - индуктивность катушки.

Подставляем известные значения:

\[ C = \frac{1}{{(2 \cdot 3.14 \cdot 500)}^2 \cdot 10 \cdot 10^{-3}} \]

Выполняем расчет:

\[ C = \frac{1}{{(2 \cdot 3.14 \cdot 500)}^2 \cdot 10 \cdot 10^{-3}} \]
\[ C = \frac{1}{{(3140)}^2 \cdot 10 \cdot 10^{-3}} \]
\[ C = \frac{1}{{(9.86 \cdot 10^{6})} \cdot 10 \cdot 10^{-3}} \]
\[ C \approx 3.21 \cdot 10^{-11} \]

Таким образом, емкость конденсатора в данном колебательном контуре составляет примерно \( 3.21 \cdot 10^{-11} \) Фарад.