1. Каков объем шара, который вписан в конус с радиусом основания 1 и образующей 2? 2. Каков объем шара, который

Давайте решим задачи по очереди.

1. Чтобы определить объем шара, вписанного в конус, нам понадобится знать радиус основания конуса и его образующую. В нашей задаче радиус основания конуса равен 1, а образующая - 2.

Чтобы найти объем шара, воспользуемся формулой для объема шара \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\), где \(r\) - радиус шара.

Для определения радиуса шара нам понадобится найти высоту конуса, в котором он вписан. Используем теорему Пифагора для треугольника, образованного радиусом основания конуса, образующей и высотой конуса. Мы знаем, что радиус основания конуса равен 1, а образующая - 2. Тогда высоту конуса \(h\) можно найти следующим образом:

\[
h = \sqrt{l^2 - r^2}
\]

где \(l\) - образующая, \(r\) - радиус основания конуса.

В нашем случае:

\[
h = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}
\]

Итак, мы получили, что высота конуса равна \(\sqrt{3}\).

Теперь, когда у нас есть значение радиуса шара и мы знаем, что \(r = \frac{1}{2} \sqrt{3}\) (потому что радиус шара - это половина радиуса основания конуса), мы можем подставить его в формулу объема шара:

\[
V = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{1}{2} \sqrt{3}\right)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{1}{8} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{\pi}{6} \sqrt{3}
\]

Таким образом, объем шара, вписанного в конус с радиусом основания 1 и образующей 2, равен \(\frac{\pi}{6} \sqrt{3}\).

2. Теперь рассмотрим вторую задачу, где требуется найти объем шара, описывающего цилиндр с радиусом основания 3 и высотой \(h\).

Объем цилиндра можно вычислить по формуле \(V = \pi r^2 h\), где \(r\) - радиус основания цилиндра, а \(h\) - его высота.

В нашем случае радиус цилиндра равен 3. Чтобы найти высоту \(h\), мы можем воспользоваться Пифагоровой теоремой для треугольника, образованного радиусом цилиндра, его высотой и образующей, которая будет равна диаметру шара.

Мы знаем, что радиус цилиндра \(r = 3\) и диаметр шара будет равен \(2r = 2 \cdot 3 = 6\). Теперь мы можем найти высоту, используя теорему Пифагора:

\[
h = \sqrt{l^2 - r^2}
\]

где \(l\) - диаметр шара, \(r\) - радиус цилиндра.

В нашем случае:

\[
h = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}
\]

Итак, есть высота цилиндра \(h = 3\sqrt{3}\).

Теперь мы можем вычислить объем шара, описывающего цилиндр. Подставим значения радиуса и высоты в формулу объема шара:

\[
V = \frac{4}{3} \pi \cdot (3\sqrt{3})^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 \sqrt{3} = 36 \pi \sqrt{3}
\]

Таким образом, объем шара, описывающего цилиндр с радиусом основания 3 и высотой \(3\sqrt{3}\), равен \(36 \pi \sqrt{3}\).

Надеюсь, эти развернутые объяснения помогли вам лучше понять решение задач. Если у вас возникнут другие вопросы, не стесняйтесь задавать!