1. Каков меньший угол параллелограмма, если отношение двух его углов составляет 6:9? 2. Какой меньший угол

Хорошо, давайте разберем каждую задачу по порядку:

1. Чтобы найти меньший угол параллелограмма, зная отношение двух его углов (6:9), мы можем использовать следующую формулу: меньший угол = всего 180° - больший угол.
Поэтому, если отношение углов составляет 6:9, то больший угол равен $180\times \frac{9}{6}=270$° (находим угол, зная, что отношение углов равно $\frac{это\ угол}{270}$).
Теперь мы можем найти меньший угол, используя формулу: меньший угол = 180° - 270° = $-90$° (находим меньший угол, зная, что меньший угол равен\ $180 + это\ угол$).

Итак, меньший угол параллелограмма равен $-90$°.

2. Для нахождения меньшего угла параллелограмма, если диагональ образует углы 56° и 41° с двумя сторонами, мы можем использовать следующую формулу: меньший угол = | $56-41$ |.
Поэтому меньший угол равен | $56-41$ | = 15°.

Итак, меньший угол параллелограмма равен 15°.

3. Чтобы найти меньший угол, образованный диагональю с одной из сторон прямоугольника, если диагональ вдвое больше стороны, мы можем использовать обратную теорему Пифагора.
Для начала, пусть сторона прямоугольника равна $x$ (неизвестное значение). Тогда диагональ равна $2x$ (двойное это сторона).

Согласно теореме Пифагора, квадрат длины диагонали равен сумме квадратов длин двух сторон. Мы можем записать это как уравнение: $(2x{)}^2=x^2+x^2$.
После упрощения уравнения получим: $4x^2=2x^2$, что приводит к уравнению: $2x^2=0$.
Решая это уравнение, получаем: $x=0$.

Сейчас у нас есть значение стороны прямоугольника, и мы можем найти требуемый угол при помощи тригонометрической функции: ${\sin }^{-1}\left(\frac{x}{2x}\right)$.
В данном случае $\frac{x}{2x}$ может быть сокращено до $\frac{1}{2}$.
Подставляя это в функцию arcsin, мы получаем: ${\sin }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.
Значением этой функции является 30°.

Итак, меньший угол, образованный диагональю с одной из сторон прямоугольника, равен 30°.

4. Если угол АВС в ромбе АВСД равен 40°, то угол АСВ также равен 40°.
В ромбе противоположные углы равны, поэтому если один угол равен 40°, то другой угол смежный и, следовательно, также равен 40°.

Итак, угол АСВ равен 40°.

5. Если разность противолежащих углов равна 64°, то сумма углов равнобедренной трапеции также равна 180°.
В равнобедренной трапеции основания (боковые стороны) параллельны друг другу, поэтому противоположные углы равны.
Следовательно, если разность противолежащих углов равна 64°, то каждый из этих углов равен $\frac{64}{2}=32$°.
Чтобы найти больший угол равнобедренной трапеции, мы можем использовать следующую формулу: $180-2\times 32$.
Расчеты дают нам: $180-64=116$.

Итак, больший угол равнобедренной трапеции равен 116°.