1. Каков меньший угол параллелограмма, если отношение двух его углов составляет 6:9? 2. Какой меньший угол

Хорошо, давайте разберем каждую задачу по порядку:

1. Чтобы найти меньший угол параллелограмма, зная отношение двух его углов (6:9), мы можем использовать следующую формулу: меньший угол = всего 180° - больший угол.
Поэтому, если отношение углов составляет 6:9, то больший угол равен \(180 \times \frac{9}{6} = 270\)° (находим угол, зная, что отношение углов равно $\frac{это\ угол}{270}$).
Теперь мы можем найти меньший угол, используя формулу: меньший угол = 180° - 270° = \( -90 \)° (находим меньший угол, зная, что меньший угол равен\ $180 + это\ угол$).

Итак, меньший угол параллелограмма равен \(-90\)°.

2. Для нахождения меньшего угла параллелограмма, если диагональ образует углы 56° и 41° с двумя сторонами, мы можем использовать следующую формулу: меньший угол = | \( 56 - 41 \) |.
Поэтому меньший угол равен | \( 56 - 41 \) | = 15°.

Итак, меньший угол параллелограмма равен 15°.

3. Чтобы найти меньший угол, образованный диагональю с одной из сторон прямоугольника, если диагональ вдвое больше стороны, мы можем использовать обратную теорему Пифагора.
Для начала, пусть сторона прямоугольника равна \( x \) (неизвестное значение). Тогда диагональ равна \( 2x \) (двойное это сторона).

Согласно теореме Пифагора, квадрат длины диагонали равен сумме квадратов длин двух сторон. Мы можем записать это как уравнение: \( (2x)^2 = x^2 + x^2 \).
После упрощения уравнения получим: \( 4x^2 = 2x^2 \), что приводит к уравнению: \( 2x^2 = 0 \).
Решая это уравнение, получаем: \( x = 0 \).

Сейчас у нас есть значение стороны прямоугольника, и мы можем найти требуемый угол при помощи тригонометрической функции: \(\sin^{-1} \left( \frac{x}{2x} \right)\).
В данном случае \( \frac{x}{2x} \) может быть сокращено до \( \frac{1}{2} \).
Подставляя это в функцию arcsin, мы получаем: \(\sin^{-1} \left( \frac{1}{2} \right)\).
Значением этой функции является 30°.

Итак, меньший угол, образованный диагональю с одной из сторон прямоугольника, равен 30°.

4. Если угол АВС в ромбе АВСД равен 40°, то угол АСВ также равен 40°.
В ромбе противоположные углы равны, поэтому если один угол равен 40°, то другой угол смежный и, следовательно, также равен 40°.

Итак, угол АСВ равен 40°.

5. Если разность противолежащих углов равна 64°, то сумма углов равнобедренной трапеции также равна 180°.
В равнобедренной трапеции основания (боковые стороны) параллельны друг другу, поэтому противоположные углы равны.
Следовательно, если разность противолежащих углов равна 64°, то каждый из этих углов равен \( \frac{64}{2} = 32 \)°.
Чтобы найти больший угол равнобедренной трапеции, мы можем использовать следующую формулу: \( 180 - 2 \times 32 \).
Расчеты дают нам: \( 180 - 64 = 116 \).

Итак, больший угол равнобедренной трапеции равен 116°.