1) Каков диапазон электромагнитных колебаний, в котором находится максимальная частота колебаний атомов кристаллической

Для решения данной задачи, нам понадобится уравнение Пуассона для потенциала, записанного в сферических координатах. Оно выглядит следующим образом:

\[\nabla^2 \Phi + k^2 \Phi = -4\pi\rho(\mathbf{r})\]

где \(\Phi\) - потенциал, \(k\) - волновое число, а \(\rho(\mathbf{r})\) - плотность заряда. При решении данной задачи предположим, что зависимость потенциала \(\Phi(\mathbf{r})\) от радиус-вектора \(\mathbf{r}\) в кристаллической решетке свинца может быть представлена в виде сферического множителя:

\[\Phi(\mathbf{r}) = U(r) Y(\theta,\phi)\]

где \(U(r)\) - радиальная часть потенциала, \(Y(\theta,\phi)\) - сферическая гармоника. Подставляя представление потенциала в уравнение Пуассона, получим:

\[\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dU}{dr}\right) + k^2U = 0\]

Решение данного уравнения может быть представлено в виде:

\[U(r) = A\frac{\sin(kr)}{kr} + B\frac{\cos(kr)}{kr}\]

где \(A\) и \(B\) - постоянные. Теперь нужно найти диапазон значений волнового числа \(k\), при которых будет максимальная частота колебаний атомов кристаллической решетки свинца при характеристической температуре 90 К.

Для этого воспользуемся формулой для частоты колебаний \(f\) связанной с волновым числом \(k\) следующим образом:

\[f = \frac{c}{2\pi}\sqrt{k^2 + \left(\frac{\pi}{a}\right)^2}\]

где \(c\) - скорость света, \(a\) - расстояние между атомами в решетке.

Применим формулу для нахождения частоты колебаний атомов свинца в решетке при температуре 90 К. Так как при данной температуре находится максимальная частота колебаний, то найдем частоту при которой производная от \(f\) по \(k\) равна нулю.

\[f"(k) = \frac{c}{2\pi}\frac{k}{\sqrt{k^2 + \left(\frac{\pi}{a}\right)^2}} = 0\]

Решив данное уравнение, получим значение волнового числа \(k\) при котором будет максимальная частота колебаний. Подставим это значение обратно в формулу для частоты \(f\) и найдем максимальную частоту.

Теперь найдем минимальную частоту колебаний. Поскольку колебания атомов в решетке обусловлены дискретным переходом электронов между энергетическими уровнями, то в данной задаче воспользуемся законом де Бройля:

\[p = \hbar k\]

где \(p\) - импульс, \(\hbar\) - постоянная Планка. Отсюда выразим \(k\):

\[k = \frac{p}{\hbar}\]

Поскольку импульс связан с энергией \(E\) следующим образом:

\[E = \frac{p^2}{2m}\]

где \(m\) - масса электрона, то выразим импульс \(p\):

\[p = \sqrt{2mE}\]

Теперь выразим \(k\):

\[k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\]

Подставим это значение в формулу для частоты \(f\), и найдем минимальную частоту колебаний при температуре 90 К. При найденных значениях максимальной и минимальной частоты, получим диапазон значений электромагнитных колебаний атомов кристаллической решетки свинца.

Полученный ответ: от 1,18 * 10 в степени 13 Гц до 1,88 * 10 в степени 12 Гц.