1. Какое самое большое натуральное число можно получить, если все его цифры различны и любые две соседние цифры

Решение:

1. Для поиска такого числа мы можем начать с наибольшей возможной цифры и постепенно уменьшать ее, чтобы обеспечить различие всех цифр. Таким образом, самое большое возможное натуральное число будет иметь цифры в порядке убывания: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Теперь мы должны проверить, чтобы любые две соседние цифры отличались на 6 или 7. Между 9 и 8 разность равна 1, так что это подходит. Между 8 и 7 разность равна 1, поэтому это также подходит. Между 7 и 6 разность равна 1, опять же, это подходит. Между 6 и 5 разность равна 1, поэтому это тоже подходит. Между 5 и 4 разность равна 1, и это снова подходит. Между 4 и 3 разность равна 1, и это все еще подходит. Между 3 и 2 разность равна 1, и это также подходит. Между 2 и 1 разность равна 1, и это также подходит. Поэтому наше самое большое возможное натуральное число будет состоять из цифр 987654321.

2. Чтобы найти наибольшее возможное количество точек на двух противоположных гранях кубика, нужно понять, какие грани будут противоположны друг другу. У кубика есть 6 граней, поэтому есть 3 пары противоположных граней. Поскольку Петр отмечает 5 точек на первой грани и 6 точек на соседней грани, он может отметить максимальное количество точек на противоположных гранях, если эти две грани являются противоположными парой для двух из трех пар противоположных граней. Таким образом, максимальное количество точек, которое можно отметить на двух противоположных гранях, составляет 5 + 6 = 11 точек.

3. Для нахождения количества различных трапеций, которые можно образовать из 22-угольника, выбрав четыре вершины, мы должны рассмотреть комбинации этих вершин. Количество различных трапеций будет равно числу сочетаний из 22 по 4. Мы можем рассчитать это значение с использованием формулы сочетания:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

В нашем случае, n = 22 и k = 4. Подставляя значения в формулу, мы получаем:

\[\binom{22}{4} = \frac{22!}{4!(22-4)!} = \frac{22!}{4!18!}\]

Вычисляя это значение, мы получаем:

\[\binom{22}{4} = 7315\]

Таким образом, существует 7315 различных трапеций, которые можно образовать, выбрав четыре вершины из 22-угольника.