1) Какое минимальное время в долях от периода Т понадобится, чтобы модуль скорости маятника достиг максимального

Давайте рассмотрим каждую задачу по очереди:
1) Для начала, давайте определим формулу для периода T маятника. По закону гармонических колебаний, период Т связан с частотой \( f \) следующим образом:
\[ T = \frac{1}{f} \].
Также, известно, что скорость маятника определяется его ускорением \( a \), которое, в свою очередь, зависит от его координаты \( x \). Можно записать уравнение для ускорения маятника:
\[ a = - \frac{g}{l} \cdot x \],
где \( g \) - ускорение свободного падения, \( l \) - длина маятника.

Максимальное значение скорости маятника достигается в момент его минимальной координаты \( x_{\min} \), точно возвращаясь в положение равновесия. В этот момент ускорение маятника \( a \) будет равно ускорению свободного падения \( g \).

Теперь мы можем определить, какое минимальное время в долях от периода Т требуется, чтобы достичь максимального значения скорости. Для этого найдем максимальную координату маятника \( x_{\max} \):

\[ x_{\max} = \frac{l}{2} \],

где \( l \) - длина маятника.

Теперь найдем время, за которое маятник достигнет этой координаты. Для этого воспользуемся уравнением равномерного движения:

\[ x = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \],

где \( x_0 \) - начальная координата маятника (равна нулю в нашем случае, так как маятник находится в положении равновесия), \( v_0 \) - начальная скорость (равная нулю, так как маятник стартует из состояния покоя), \( t \) - время.

Подставим известные значения в уравнение:

\[ \frac{l}{2} = 0 + 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \],

\[ t^2 = \frac{l}{g} \],

\[ t = \sqrt{\frac{l}{g}} \].

Наконец, чтобы найти время в долях от периода Т, нужно разделить найденное время на период:

\[ \frac{t}{T} = \frac{\sqrt{\frac{l}{g}}}{T} \].

2) Теперь рассмотрим вторую задачу. Для нахождения времени, необходимого для максимального сжатия пружины маятника, нам нужно знать закон Гука для пружины. По закону Гука:

\[ F = -kx \],

где \( F \) - сила, действующая на пружину, \( k \) - коэффициент упругости пружины, \( x \) - сжатие пружины.

Сила, действующая на пружину, равна силе тяжести, действующей на маятник:

\[ m \cdot g = k \cdot x \],

где \( m \) - масса маятника.

Теперь мы можем найти сжатие пружины:

\[ x = \frac{m \cdot g}{k} \].

Так как маятник достигает максимального сжатия пружины в момент равновесия, то \( x_{\min} = 0 \).

Тогда найденное сжатие пружины \( x \) должно быть равно 0, и мы можем записать уравнение:

\[ x = 0 = \frac{m \cdot g}{k} \],

\[ m \cdot g = k \cdot x = 0 \],

\[ m \cdot g = 0 \],

\[ m = 0 \],

что невозможно, так как масса маятника не может быть равна нулю.

Таким образом, мы приходим к выводу, что для маятника с пружиной не существует минимального времени, необходимого для максимального сжатия пружины, так как маятник не достигнет этого состояния.

3) Перейдем к третьей задаче. Чтобы найти время, через которое груз маятника сместится на половину максимального смещения, нам нужно определить уравнение для смещения маятника от положения равновесия \( x \) в зависимости от времени \( t \).

Уравнение гармонических колебаний имеет вид:

\[ x = A \cdot \sin(2\pi \cdot f \cdot t) \],

где \( A \) - амплитуда колебаний, \( f \) - частота колебаний.

Мы знаем, что груз маятника смещается на половину максимального смещения, то есть \( x = \frac{A}{2} \). Подставим это в уравнение:

\[ \frac{A}{2} = A \cdot \sin(2\pi \cdot f \cdot t) \],

\[ \sin(2\pi \cdot f \cdot t) = \frac{1}{2} \],

\[ 2\pi \cdot f \cdot t = \frac{\pi}{6} \],

\[ t = \frac{1}{12 \cdot f} \].

Чтобы найти время в долях от периода Т, нужно разделить найденное время на период:

\[ \frac{t}{T} = \frac{\frac{1}{12 \cdot f}}{T} \].

4) Теперь перейдем к последней задаче. Чтобы найти минимальное время в долях от периода Т, необходимое для достижения модуля скорости маятника половины его максимальной скорости, воспользуемся следующими соотношениями.

Максимальная скорость маятника достигается при положении максимального смещения (\( x = x_{\max} = \frac{l}{2} \)). Мы можем найти это время, используя следующее уравнение для скорости маятника:

\[ v = \omega \cdot A \cdot \cos(\omega \cdot t) \],

где \( \omega = 2\pi \cdot f \) - угловая частота колебаний.

Для максимальной скорости мы знаем, что \( v = \frac{1}{2} \cdot v_{\max} \). Подставим это в уравнение:

\[ \frac{1}{2} \cdot v_{\max} = \omega \cdot A \cdot \cos(\omega \cdot t) \],

\[ \cos(\omega \cdot t) = \frac{1}{2} \],

\[ \omega \cdot t = \frac{\pi}{3} \],

\[ t = \frac{\pi}{3 \cdot \omega} \],

\[ t = \frac{\pi}{3 \cdot 2\pi \cdot f} \],

\[ t = \frac{1}{6 \cdot f} \].

Таким образом, минимальное время в долях от периода Т, необходимое для достижения модуля скорости маятника половины его максимальной скорости, равно:

\[ \frac{t}{T} = \frac{\frac{1}{6 \cdot f}}{T} \].

Надеюсь, эти пошаговые решения помогут вам лучше понять задачи и получить понятные и обоснованные ответы. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!