1. Какое количество людей можно выбрать из группы, состоящей из 10 человек, чтобы сформировать команду из трех человек

Задача 1: Какое количество людей можно выбрать из группы, состоящей из 10 человек, чтобы сформировать команду из трех человек и назначить одного из них капитаном?

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику и принципы выбора.

Сначала найдем количество способов выбрать команду из трех человек из общего количества 10 человек. Это можно сделать, используя комбинации из 10 по 3:

\[\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120.\]

Теперь нам нужно выбрать одного из трех членов команды в качестве капитана. Это можно сделать, используя простое правило умножения, так как каждый член команды может быть выбран в качестве капитана:

120 способов выбрать команду умножаем на 3 способа выбрать капитана:

\(120 \cdot 3 = 360.\)

Таким образом, из группы из 10 человек можно выбрать 360 различных команд из трех человек с капитаном.

Задача 2: Какая была исходная скорость велосипедиста, если он проехал 60 км, затем повернул обратно и, увеличив скорость на 20% от первоначальной, вернулся в исходный пункт через 5,5 часа после начала поездки?

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу расстояния, скорости и времени:

\[расстояние = скорость \cdot время.\]

Пусть \(x\) будет исходной скоростью велосипедиста в км/ч.

Первый этап поездки занимает половину общего времени (5,5 часов / 2 = 2,75 часа). За это время велосипедист проезжает расстояние 60 км:

\[60 = x \cdot 2.75.\]

Второй этап поездки также занимает 2,75 часа, но велосипедист увеличивает скорость на 20% от исходной (1.2x) и проезжает такое же расстояние 60 км:

\[60 = (1.2x) \cdot 2.75.\]

Теперь у нас есть система уравнений с двумя неизвестными:

\[\begin{align*}
60 &= x \cdot 2.75, \\
60 &= (1.2x) \cdot 2.75.
\end{align*}\]

Мы можем решить эту систему уравнений, разделив второе уравнение на 2.75:

\[\frac{60}{2.75} = 1.2x.\]

Таким образом, получаем:

\[x = \frac{60}{2.75 \cdot 1.2} \approx 16.36.\]

Исходная скорость велосипедиста составляет около 16.36 км/ч.