1. Какое из чисел A, B, C и D, записанных в различных системах счисления, является наименьшим? A= 10214, B= 4716

1. Чтобы определить наименьшее число из A, B, C и D, необходимо преобразовать их в десятичную систему счисления и сравнить полученные значения.

Для числа A, записанного в двоичной системе счисления, мы можем использовать следующую формулу для перевода в десятичную систему:

\[A_1 = a_n \times 2^n + a_{n-1} \times 2^{n-1} + ... + a_1 \times 2^1 + a_0 \times 2^0\]

Где \(a_i\) - это цифры числа A в двоичной системе, а n - количество цифр в числе A.

Применяя эту формулу к числу A = 1001010, мы можем найти его десятичное значение:

\[A_1 = 1 \times 2^6 + 0 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 74\]

Аналогично переведем числа B, C и D в десятичную систему:

\[B_1 = 4 \times 7^2 + 7 \times 7^1 + 1 \times 7^0 = 4 \times 49 + 7 \times 7 + 1 \times 1 = 196 + 49 + 1 = 246\]

\[C_1 = 3 \times 7^2 + 1 \times 7^1 + 1 \times 7^0 = 3 \times 49 + 1 \times 7 + 1 \times 1 = 147 + 7 + 1 = 155\]

\[D_1 = 0 \times 2^7 + 1 \times 2^6 + 0 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 64 + 16 + 4 + 1 = 85\]

Теперь мы можем сравнить значения A_1, B_1, C_1 и D_1, чтобы найти наименьшее число. Самое маленькое число из этих четырех - D_1 = 85, следовательно, число D = 10010102 - наименьшее из указанных чисел.

2. Чтобы найти значение x в уравнении 1007 + x = 2305 и записть ответ в шестеричной системе счисления, мы должны сначала вычесть 1007 из обеих сторон уравнения:

\[x = 2305 - 1007 = 1298\]

Теперь нам нужно перевести полученное значение 1298 в шестеричную систему счисления. Чтобы это сделать, будем делить число на 6 до тех пор, пока не получим 0 в остатке. Запишем все остатки в обратном порядке, чтобы получить итоговое значение в шестеричной системе:

\[1298 \div 6 = 216, \quad остаток = 2\]
\[216 \div 6 = 36, \quad остаток = 0\]
\[36 \div 6 = 6, \quad остаток = 0\]
\[6 \div 6 = 1, \quad остаток = 0\]
\[1 \div 6 = 0, \quad остаток = 1\]

Таким образом, значение x = 1298 в шестеричной системе счисления равно 10020.

3. Чтобы найти количество чисел, удовлетворяющих условию, что число, выраженное в семиричной и шестнадцатеричной системах счисления, имеет четыре знака, рассмотрим все возможные комбинации цифр в этих системах.

В семиричной системе счисления может быть использовано 7 различных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Если число имеет 4 знака, первая цифра может быть отлична от нуля, а остальные три цифры могут быть любыми из 7 возможных.

Таким образом, количество чисел соответствующих условию в семиричной системе счисления равно: 6 * 7 * 7 * 7 = 2058.

В шестнадцатеричной системе счисления может быть использовано 16 различных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Если число имеет 4 знака, каждая из цифр может быть любой из 16 возможных.

Таким образом, количество чисел соответствующих условию в шестнадцатеричной системе счисления равно: 16 * 16 * 16 * 16 = 65536.

4. a) Чтобы определить основание системы счисления в уравнении 1258 + 103 = 323x, мы можем сравнить самую большую цифру в левой части уравнения с возможными цифрами в системе счисления. Мы видим, что самая большая цифра - 8, и она больше любой из цифр от 0 до 3, поэтому основание системы счисления должно быть больше или равно 9.

b) Чтобы найти наименьшее основание системы счисления, мы можем исследовать все возможные основания начиная с 9 и проверять, подходит ли каждое основание для уравнения.

Давайте начнем с основания 9. В этом случае мы можем использовать только цифры от 0 до 8. Проверим, выполняется ли уравнение:

\[(1 \times 9^3 + 2 \times 9^2 + 5 \times 9^1 + 8 \times 9^0) + (1 \times 9^2 + 0 \times 9^1 + 3 \times 9^0) = 323 \times x\]
\[729 + 162 + 45 + 8 + 81 + 0 + 27 = 323 \times x\]
\[1022 \neq 323 \times x\]

Уравнение не выполняется при основании 9. Продолжим проверять основания по порядку.

При основании 10 мы можем использовать цифры от 0 до 9. Проверим уравнение:

\[(1 \times 10^3 + 2 \times 10^2 + 5 \times 10^1 + 8 \times 10^0) + (1 \times 10^2 + 0 \times 10^1 + 3 \times 10^0) = 323 \times x\]
\[1000 + 200 + 50 + 8 + 100 + 0 + 3 = 323 \times x\]
\[1361 \neq 323 \times x\]

Уравнение не выполняется при основании 10. Продолжим проверять другие основания.

Продолжая проверять другие основания, мы увидим, что уравнение не выполняется при основании 11, 12 и т. д.

При основании 15 уравнение выполняется:

\[(1 \times 15^3 + 2 \times 15^2 + 5 \times 15^1 + 8 \times 15^0) + (1 \times 15^2 + 0 \times 15^1 + 3 \times 15^0) = 323 \times x\]
\[3375 + 450 + 75 + 8 + 225 + 0 + 45 = 323 \times x\]
\[4178 = 323 \times x\]

Таким образом, основание системы счисления x равно 15 при решении уравнения а) 1258 + 103 = 323x.

Итак, наименьшее основание системы счисления, в которой можно решить уравнение а), равно 15.