1 Какое число написано на карточке, которую Юра потерял, если у него изначально было n карточек с числами от 1 до

1. Предположим, что изначально у Юры было $n$ карточек. Обозначим искомое число на потерянной карточке как $x$.

Мы знаем, что сумма чисел на оставшихся карточках составила 101. Так как изначально всего было $n$ карточек с числами от 1 до $n$, то мы можем посчитать сумму этих чисел. Это можно сделать с помощью формулы суммы арифметической прогрессии:

$$\frac{n\cdot (1+n)}{2}$$

Таким образом, по условию задачи получаем уравнение:

$$\frac{n\cdot (1+n)}{2}-x=101$$

Отсюда нам нужно найти $x$.

Давайте решим это уравнение:

$$\frac{n^2+n}{2}-x=101$$

Перенесем все члены уравнения влево:

$$\frac{n^2+n}{2}-101-x=0$$

Теперь перепишем это уравнение в более удобной форме:

$$\frac{n^2+n-202-2x}{2}=0$$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$n^2+n-202-2x=0$$

Теперь это квадратное уравнение, которое мы можем решить. Найдем его корни:

$$n=\frac{-1+\sqrt{1+4\cdot (202+2x)}}{2}\text{или}n=\frac{-1-\sqrt{1+4\cdot (202+2x)}}{2}$$

Мы ищем натуральное число $n$, поэтому нам подходит только первый корень:

$$n=\frac{-1+\sqrt{1+4\cdot (202+2x)}}{2}$$

Теперь найдем значение $x$, подставив $n$ в исходное уравнение:

$$x=\frac{n^2+n}{2}-101$$

Таким образом, мы сможем найти число на потерянной карточке Юры, если знаем значение переменной $x$. Например, если $x=12$, то $n=13$ и потерянное число равно 12.

2. Предположим, что для сбегания вверх Васе требуется время $t$ минут. Тогда для сбегания вниз ему потребуется время $\frac{t}{2}$ минут, так как он бежит в два раза быстрее вниз.

Если эскалатор работает и движется вверх, то общее время, потраченное Васей на сбегание вверх и вниз, равно 6 минут. То есть:

$$t+\frac{t}{2}=6$$

Решим это уравнение:

$$\frac{3t}{2}=6$$

$$t=\frac{2\cdot 6}{3}$$

$$t=4$$

Таким образом, чтобы сбежать вверх и вниз по эскалатору, движущемуся вверх, Васе понадобится 4 минуты.

Если эскалатор движется вниз, то для сбегания вверх и вниз потребуется 13,5 минут. То есть:

$$t+\frac{t}{2}=13,5$$

Решим это уравнение:

$$\frac{3t}{2}=13,5$$

$$t=\frac{2\cdot 13,5}{3}$$

$$t=9$$

Таким образом, чтобы сбежать вверх и вниз по эскалатору, движущемуся вниз, Васе потребуется 9 минут.

Надеюсь, объяснение было понятным и полезным для школьника. Если возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!