1 Какое число написано на карточке, которую Юра потерял, если у него изначально было n карточек с числами от 1 до

1. Предположим, что изначально у Юры было \( n \) карточек. Обозначим искомое число на потерянной карточке как \( x \).

Мы знаем, что сумма чисел на оставшихся карточках составила 101. Так как изначально всего было \( n \) карточек с числами от 1 до \( n \), то мы можем посчитать сумму этих чисел. Это можно сделать с помощью формулы суммы арифметической прогрессии:

\[
\frac{{n \cdot (1 + n)}}{2}
\]

Таким образом, по условию задачи получаем уравнение:

\[
\frac{{n \cdot (1 + n)}}{2} - x = 101
\]

Отсюда нам нужно найти \( x \).

Давайте решим это уравнение:

\[
\frac{{n^2 + n}}{2} - x = 101
\]

Перенесем все члены уравнения влево:

\[
\frac{{n^2 + n}}{2} - 101 - x = 0
\]

Теперь перепишем это уравнение в более удобной форме:

\[
\frac{{n^2 + n - 202 - 2x}}{2} = 0
\]

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[
n^2 + n - 202 - 2x = 0
\]

Теперь это квадратное уравнение, которое мы можем решить. Найдем его корни:

\[
n = \frac{{-1 + \sqrt{1 + 4 \cdot (202 + 2x)}}}{2} \quad \text{или} \quad n = \frac{{-1 - \sqrt{1 + 4 \cdot (202 + 2x)}}}{2}
\]

Мы ищем натуральное число \( n \), поэтому нам подходит только первый корень:

\[
n = \frac{{-1 + \sqrt{1 + 4 \cdot (202 + 2x)}}}{2}
\]

Теперь найдем значение \( x \), подставив \( n \) в исходное уравнение:

\[
x = \frac{{n^2 + n}}{2} - 101
\]

Таким образом, мы сможем найти число на потерянной карточке Юры, если знаем значение переменной \( x \). Например, если \( x = 12 \), то \( n = 13 \) и потерянное число равно 12.

2. Предположим, что для сбегания вверх Васе требуется время \( t \) минут. Тогда для сбегания вниз ему потребуется время \( \frac{t}{2} \) минут, так как он бежит в два раза быстрее вниз.

Если эскалатор работает и движется вверх, то общее время, потраченное Васей на сбегание вверх и вниз, равно 6 минут. То есть:

\[ t + \frac{t}{2} = 6 \]

Решим это уравнение:

\[ \frac{3t}{2} = 6 \]

\[ t = \frac{2 \cdot 6}{3} \]

\[ t = 4 \]

Таким образом, чтобы сбежать вверх и вниз по эскалатору, движущемуся вверх, Васе понадобится 4 минуты.

Если эскалатор движется вниз, то для сбегания вверх и вниз потребуется 13,5 минут. То есть:

\[ t + \frac{t}{2} = 13,5 \]

Решим это уравнение:

\[ \frac{3t}{2} = 13,5 \]

\[ t = \frac{2 \cdot 13,5}{3} \]

\[ t = 9 \]

Таким образом, чтобы сбежать вверх и вниз по эскалатору, движущемуся вниз, Васе потребуется 9 минут.

Надеюсь, объяснение было понятным и полезным для школьника. Если возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!