1. Какие значения имеют углы правильного сорокаугольника? 2. Какова длина окружности, которая вписана в правильный

1. Углы правильного сорокаугольника имеют одинаковые значения. Для того чтобы найти величину угла, мы можем воспользоваться формулой:
\[ \text{Величина угла} = \frac{{360^\circ}}{{\text{Количество углов}}} = \frac{{360^\circ}}{{40}} \]

2. Для расчета длины окружности, которая вписана в правильный треугольник со стороной 12 см, мы можем использовать формулу:
\[ \text{Длина окружности} = \text{Радиус} \times 2 \times \pi \]

Для нахождения радиуса, мы можем воспользоваться формулой:
\[ \text{Радиус} = \frac{{\text{Сторона треугольника}}}{{2 \times \sqrt{3}}} \]

Подставляя значения, получим:
\[ \text{Радиус} = \frac{{12 \, \text{см}}}{{2 \times \sqrt{3}}} = \frac{{6 \, \text{см}}}{{\sqrt{3}}} \]

Длина окружности будет:
\[ \text{Длина окружности} = \left( \frac{{6 \, \text{см}}}{{\sqrt{3}}} \right) \times 2 \times \pi \]

3. При условии, что окружность содержит в себе квадрат со стороной 8 см, мы можем использовать формулу для нахождения радиуса около которой описан правильный шестиугольник:
\[ \text{Радиус} = \frac{{\text{Диагональ квадрата}}}{{2}} = \frac{{8 \, \text{см}}}{{2}} = 4 \, \text{см} \]

Чтобы найти сторону правильного шестиугольника, мы можем воспользоваться формулой:
\[ \text{Сторона} = 2 \times \text{Радиус} \times \sin\left(\frac{{\pi}}{{6}}\right) \]

Подставляя значение радиуса, получим:
\[ \text{Сторона} = 2 \times 4 \, \text{см} \times \sin\left(\frac{{\pi}}{{6}}\right) \]

4. Если радиус окружности, описанной вокруг правильного многоугольника, равен 4 см, а сторона многоугольника составляет 4 см, то:

1) Радиус окружности, вписанной в многоугольник, можно найти, используя формулу:
\[ \text{Радиус} = \frac{{\text{Сторона многоугольника}}}{{2 \times \tan\left(\frac{{\pi}}{{\text{Количество сторон многоугольника}}}}\right)}} \]

Подставляя значения, получим:
\[ \text{Радиус} = \frac{{4 \, \text{см}}}{{2 \times \tan\left(\frac{{\pi}}{{\text{Количество сторон многоугольника}}}}\right)}} \]

2) Чтобы найти количество сторон многоугольника, можно воспользоваться формулой:
\[ \text{Количество сторон многоугольника} = \frac{{2\pi}}{{\arccos\left(1 - \frac{{\text{Сторона многоугольника}^2}}{{2 \times \text{Радиус}^2}}\right)}} \]

Подставляя значения, получим:
\[ \text{Количество сторон многоугольника} = \frac{{2\pi}}{{\arccos\left(1 - \frac{{4 \, \text{см}^2}}{{2 \times 4 \, \text{см}^2}}\right)}} \]

5. К сожалению, ваш запрос обрезался и не содержит полной информации о треугольнике. Пожалуйста, предоставьте полное условие задачи, и я с удовольствием помогу вам решить ее.