1) Какие векторы в трапеции ABCD равны друг другу, если S - середина стороны AB, а T - середина стороны CD?

1) Обозначим векторы AB и CD как \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) соответственно.

Так как S является серединой стороны AB, то вектор AS будет равен половине вектора AB:

\(\vec{s} = \frac{1}{2}\vec{a}\)

Аналогично, так как T является серединой стороны CD, вектор DT будет равен половине вектора CD:

\(\vec{t} = \frac{1}{2}\vec{b}\)

Для трапеции ABCD справедливо условие равенства диагоналей: AC = BD.

Это значит, что вектор, соединяющий середины диагоналей, равен нулю:

\(\vec{0} = \vec{t} - \vec{s}\)

Подставляя значения векторов S и T, получаем:

\(\vec{0} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}\)

Умножим обе части уравнения на 2:

\(2\cdot\vec{0} = 2\cdot\left(\frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}\right)\)

Получаем:

\(\vec{0} = \vec{b} - \vec{a}\)

Таким образом, векторы AB и CD равны друг другу.

2) Обозначим вектор AB как \(\vec{a}\) и вектор BC как \(\vec{b}\).

Сумма векторов AB и BC будет равна:

\(\vec{a} + \vec{b}\)

С учетом их длин и направлений, сумма будет:

\(\vec{a} + \vec{b} = 12\cdot\vec{i} + 5\cdot\vec{j}\)

где \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\) - орты координатной плоскости, соответствующие направлениям осей x и y.

Вектор AB + BC можно найти, сложив координаты векторов AB и BC по отдельности:

\(\vec{AB} + \vec{BC} = (12\cdot\vec{i}) + (5\cdot\vec{j})\)

Таким образом, сумма векторов AB и BC равна \(12\cdot\vec{i} + 5\cdot\vec{j}\).

3) Противоположно направленные векторы имеют противоположные направления, но одинаковую длину. Например:

\(\vec{a} = 3\cdot\vec{i}\) и \(-\vec{a} = -3\cdot\vec{i}\)

Где \(\vec{i}\) - орт координатной плоскости.

Сумма этих векторов будет равна:

\(\vec{a} + (-\vec{a}) = 3\cdot\vec{i} + (-3\cdot\vec{i}) = 0\cdot\vec{i} = \vec{0}\)

Разность же будет равна:

\(\vec{a} - (-\vec{a}) = 3\cdot\vec{i} - (-3\cdot\vec{i}) = 3\cdot\vec{i} + 3\cdot\vec{i} = 6\cdot\vec{i}\)

Таким образом, сумма противоположно направленных векторов равна нулю, а их разность равна удвоенному первоначальному вектору.