1. Какие точки лежат на оси Оy? Какие точки лежат в плоскости Оху? 2. Как задать два не коллинеарных вектора и

1. Чтобы определить, какие точки лежат на оси Oy, нужно рассмотреть координаты этих точек и проверить, является ли первая координата (координата по оси x) равной нулю. Если да, то точка лежит на оси Oy.

2. Для задания двух не коллинеарных векторов A и B, можно выбрать любые ненулевые значения для их координат. Важно, чтобы у них были различные значения для хотя бы одной из координат, чтобы они не были коллинеарны (лежали на одной прямой). Например, вектор A можно задать как A = (1, 0, 0), а вектор B как B = (0, 1, 0).

Чтобы построить сумму векторов A и B, нужно просто сложить их соответствующие координаты. Сумма векторов будет новым вектором C, где Ci = Ai + Bi для каждой координаты i.

3. а) Чтобы найти длину вектора AB, нужно использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[AB = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2}\]

В данном случае, А(-4; 1; 2) имеет координаты x1 = -4, y1 = 1, z1 = 2, а B(5; 6; -9) имеет координаты x2 = 5, y2 = 6, z2 = -9. Подставляем эти значения в формулу:

\[AB = \sqrt{(5 - (-4))^2 + (6 - 1)^2 + (-9 - 2)^2}\]

Вычисляем выражение в скобках:

\[AB = \sqrt{9^2 + 5^2 + (-11)^2}\]
\[AB = \sqrt{81 + 25 + 121}\]
\[AB = \sqrt{227}\]

Таким образом, длина вектора AB составляет \(\sqrt{227}\).

в) Чтобы найти середину отрезка AB, нужно взять среднее арифметическое координат точек A и B по каждой оси:

\[С = \left(\frac{{x1 + x2}}{2}, \frac{{y1 + y2}}{2}, \frac{{z1 + z2}}{2}\right)\]

Используя значения координат из предыдущего примера, получаем:

\[С = \left(\frac{{-4 + 5}}{2}, \frac{{1 + 6}}{2}, \frac{{2 + (-9)}}{2}\right)\]
\[С = \left(\frac{{1}}{2}, \frac{{7}}{2}, \frac{{-7}}{2}\right)\]

Таким образом, середина отрезка AB имеет координаты \(\left(\frac{1}{2}, \frac{7}{2}, \frac{-7}{2}\right)\).

4. а) Чтобы найти скалярное произведение векторов A и B, нужно умножить соответствующие координаты векторов и сложить полученные произведения. Формула для скалярного произведения векторов в трехмерном пространстве:

\[A \cdot B = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z\]

Подставим значения из задачи:

\[A \cdot B = 2 \cdot (-3) + 0 \cdot 4 + 5 \cdot 7 = -6 + 0 + 35 = 29\]

Таким образом, скалярное произведение векторов A и B равно 29.

б) Чтобы найти косинус угла между векторами A и B, можно использовать следующую формулу:

\[\cos(\theta) = \frac{A \cdot B}{|A| \cdot |B|}\]

Где |A| и |B| - длины векторов A и B соответственно.

Мы уже знаем, что скалярное произведение A и B равно 29. Чтобы найти длины векторов, можно использовать формулу для длины вектора из предыдущего пункта (а) и подставить значения:

\[|A| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 5^2} = \sqrt{29}\]

\[|B| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 7^2} = \sqrt{74}\]

Теперь, подставляя значения в формулу для косинуса угла:

\[\cos(\theta) = \frac{29}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{74}}\]

С помощью калькулятора можно вычислить приближенное значение косинуса и угла. Например, \(\cos(\theta) \approx 0.715\), а значит угол \(\theta \approx 45.7^\circ\).

5. Чтобы найти координаты вектора, заданного через три точки, нужно вычислить разности координат между каждой парой точек. В данном случае, координаты вектора между точками {-5, 2, -1}, {8, -3, 0}, { -1, 4, 7} будут:

\[(8 - (-5), -3 - 2, 0 - (-1)) = (13, -5, 1)\]

Таким образом, координаты вектора будут (13, -5, 1).