1. Какие точки лежат на оси Оy? Какие точки лежат в плоскости Оху? 2. Как задать два не коллинеарных вектора и

1. Чтобы определить, какие точки лежат на оси Oy, нужно рассмотреть координаты этих точек и проверить, является ли первая координата (координата по оси x) равной нулю. Если да, то точка лежит на оси Oy.

2. Для задания двух не коллинеарных векторов A и B, можно выбрать любые ненулевые значения для их координат. Важно, чтобы у них были различные значения для хотя бы одной из координат, чтобы они не были коллинеарны (лежали на одной прямой). Например, вектор A можно задать как A = (1, 0, 0), а вектор B как B = (0, 1, 0).

Чтобы построить сумму векторов A и B, нужно просто сложить их соответствующие координаты. Сумма векторов будет новым вектором C, где Ci = Ai + Bi для каждой координаты i.

3. а) Чтобы найти длину вектора AB, нужно использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

$$AB=\sqrt{(x2-x1{)}^2+(y2-y1{)}^2+(z2-z1{)}^2}$$

В данном случае, А(-4; 1; 2) имеет координаты x1 = -4, y1 = 1, z1 = 2, а B(5; 6; -9) имеет координаты x2 = 5, y2 = 6, z2 = -9. Подставляем эти значения в формулу:

$$AB=\sqrt{(5-(-4){)}^2+(6-1{)}^2+(-9-2{)}^2}$$

Вычисляем выражение в скобках:

$$AB=\sqrt{9^2+5^2+(-11{)}^2}$$
$$AB=\sqrt{81+25+121}$$
$$AB=\sqrt{227}$$

Таким образом, длина вектора AB составляет $\sqrt{227}$.

в) Чтобы найти середину отрезка AB, нужно взять среднее арифметическое координат точек A и B по каждой оси:

$$С=(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2},\frac{z1+z2}{2})$$

Используя значения координат из предыдущего примера, получаем:

$$С=(\frac{-4+5}{2},\frac{1+6}{2},\frac{2+(-9)}{2})$$
$$С=(\frac{1}{2},\frac{7}{2},\frac{-7}{2})$$

Таким образом, середина отрезка AB имеет координаты $(\frac{1}{2},\frac{7}{2},\frac{-7}{2})$.

4. а) Чтобы найти скалярное произведение векторов A и B, нужно умножить соответствующие координаты векторов и сложить полученные произведения. Формула для скалярного произведения векторов в трехмерном пространстве:

$$A\cdot B=A_x\cdot B_x+A_y\cdot B_y+A_z\cdot B_z$$

Подставим значения из задачи:

$$A\cdot B=2\cdot (-3)+0\cdot 4+5\cdot 7=-6+0+35=29$$

Таким образом, скалярное произведение векторов A и B равно 29.

б) Чтобы найти косинус угла между векторами A и B, можно использовать следующую формулу:

$$\cos (\theta )=\frac{A\cdot B}{|A|\cdot |B|}$$

Где |A| и |B| - длины векторов A и B соответственно.

Мы уже знаем, что скалярное произведение A и B равно 29. Чтобы найти длины векторов, можно использовать формулу для длины вектора из предыдущего пункта (а) и подставить значения:

$$|A|=\sqrt{2^2+0^2+5^2}=\sqrt{29}$$

$$|B|=\sqrt{(-3{)}^2+4^2+7^2}=\sqrt{74}$$

Теперь, подставляя значения в формулу для косинуса угла:

$$\cos (\theta )=\frac{29}{\sqrt{29}\cdot \sqrt{74}}$$

С помощью калькулятора можно вычислить приближенное значение косинуса и угла. Например, $\cos (\theta )\approx 0.715$, а значит угол $\theta \approx {45.7}^{\circ }$.

5. Чтобы найти координаты вектора, заданного через три точки, нужно вычислить разности координат между каждой парой точек. В данном случае, координаты вектора между точками {-5, 2, -1}, {8, -3, 0}, { -1, 4, 7} будут:

$$(8-(-5),-3-2,0-(-1))=(13,-5,1)$$

Таким образом, координаты вектора будут (13, -5, 1).