1: Какие координаты у вектора mn, если m(4; 5) и n(7; -9)? 2: Какова длина вектора mn, если m(4; -5) и n(7; -9)?

1: Координаты вектора \(mn\) можно найти, вычтя координаты точки \(m\) из координат точки \(n\):

\[
\overrightarrow{mn} = \overrightarrow{n} - \overrightarrow{m}
\]

\[
\overrightarrow{mn} = (7, -9) - (4, 5) = (7-4, -9-5) = (3, -14)
\]

Таким образом, координаты вектора \(mn\) равны (3, -14).

2: Длина вектора \(mn\) может быть найдена с использованием формулы для расстояния между двумя точками на плоскости. Формула выглядит следующим образом:

\[
|\overrightarrow{mn}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}
\]

где \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) - координаты точек \(m\) и \(n\) соответственно.

В данном случае, \((x_1, y_1) = (4, -5)\) и \((x_2, y_2) = (7, -9)\). Подставим значения в формулу:

\[
|\overrightarrow{mn}| = \sqrt{(7-4)^2 + (-9-(-5))^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]

Таким образом, длина вектора \(mn\) равна 5.

3: Расстояние между точками \(a\) и \(b\), то есть длина отрезка \(ab\), может быть вычислено с помощью той же формулы для расстояния между двумя точками. Подставим значения координат точек \(a\) и \(b\) в формулу:

\[
|ab| = \sqrt{(-10 - (-2))^2 + (-5 - 1)^2} = \sqrt{(-10 + 2)^2 + (-5 - 1)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10
\]

Таким образом, расстояние между точками \(a\) и \(b\) равно 10.

4: Для нахождения медианы \(bd\) треугольника \(abc\), отрезок \(bd\) должен быть перпендикулярным к стороне \(ac\) и проходить через её середину. Чтобы найти середину стороны \(ac\), можно использовать среднее значение координат точек \(a\) и \(c\):

\[
\left(\frac{{x_a + x_c}}{2}, \frac{{y_a + y_c}}{2}\right)
\]

Заменим координаты вершин \(a(-2, -3)\) и \(c(?, ?)\) на \(a(-2, -3)\) и \(c(-3, 5)\):

\[
\left(\frac{{-2 + (-3)}}{2}, \frac{{-3 + 5}}{2}\right) = \left(\frac{{-5}}{2}, 1\right)
\]

Таким образом, середина стороны \(ac\) имеет координаты \(\left(-\frac{5}{2}, 1\right)\).

Далее, находим уравнение прямой, проходящей через точки \(b(-3, 5)\) и \(\left(-\frac{5}{2}, 1\right)\). Для этого воспользуемся формулой точки-наклона:

\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]

где \((x_1, y_1)\) - координаты одной из точек, \(m\) - наклон прямой, а \(x\) и \(y\) - переменные координаты точек на этой прямой.

Укажите координаты точек.