1. Какие координаты точки м относительно симметричны точек е (-3; 8; 7) и к (-9; 6; 1)? 2. Каково расстояние от точки

Конечно! Давайте решим каждую задачу по порядку.

1. Чтобы найти координаты точки \(М\), симметричной точкам \(Е(-3; 8; 7)\) и \(К(-9; 6; 1)\), мы можем использовать свойство симметрии относительно оси. Осью симметрии будет служить серединный перпендикуляр между точками \(Е\) и \(К\).

Сначала найдем середину отрезка между \(Е\) и \(К\):
\[x_m = \frac{x_e + x_k}{2} = \frac{-3 - 9}{2} = -6\]
\[y_m = \frac{y_e + y_k}{2} = \frac{8 + 6}{2} = 7\]
\[z_m = \frac{z_e + z_k}{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4\]

Таким образом, середина отрезка \(ЕК\) имеет координаты \(М(-6; 7; 4)\).

Далее, чтобы найти координаты точки \(М\), симметричной точке \(Е\) относительно точки \(М\), мы можем использовать формулу симметрии относительно точки:
\[x_m = 2x - x_e\]
\[y_m = 2y - y_e\]
\[z_m = 2z - z_e\]

Подставим значения исходной точки \(Е\) и координаты \(М\):
\[x_m = 2(-6) + (-3) = -12 - 3 = -15\]
\[y_m = 2(7) - 8 = 14 - 8 = 6\]
\[z_m = 2(4) - 7 = 8 - 7 = 1\]

Таким образом, координаты точки \(М\) относительно симметричной точки \(Е\) равны \((-15; 6; 1)\).

Аналогичным образом, можно найти координаты точки \(М\) относительно симметричной точки \(К\).

2. Чтобы найти расстояние от точки \(А(2; 3; -6)\) до координатной плоскости \(ХУ\), мы можем использовать формулу:
\[d = \frac{|Ax + By + Cz + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

Где \(Ax + By + Cz + D = 0\) - уравнение плоскости. Для координатной плоскости \(ХУ\) оно принимает вид \(0x + 0y + 1z + 0 = z = 0\).

Подставим значения точки \(А\) и уравнение плоскости в формулу:
\[d = \frac{|2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + (-6) \cdot 1 + 0|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|-6|}{1} = 6\]

Таким образом, расстояние от точки \(А\) до координатной плоскости \(ХУ\) равно 6.

3. Чтобы определить тип ортогональной проекции отрезка с концами в точках \(А(-1; 0; 5)\) и \(В(-1; 0; 8)\) на координатную плоскость \(ХУ\), нужно сравнить значения оси \(z\) у обеих точек. Если они совпадают, значит, проекция - прямая. Если значения различаются, то проекция - отрезок.

В данном случае значения оси \(z\) у обеих точек совпадают, поэтому тип ортогональной проекции отрезка \(АВ\) на плоскость \(ХУ\) - прямая.

4. Чтобы найти вектор \(С = 2 \cdot А - В\) при данных значениях \(А(3; -1; 2)\) и \(В(-2; 2; 5)\), мы умножаем координаты вектора \(А\) на 2 и вычитаем координаты вектора \(В\):
\[С = 2 \cdot А - В = (2 \cdot 3 - (-2); 2 \cdot (-1) - 2; 2 \cdot 2 - 5) = (8; -4; -1)\]

Таким образом, вектор \(С\) при данных значениях равен \((8; -4; -1)\).

5. Чтобы найти величину угла в параллелограмме \(ABCD\), построенном на векторах \(А\) и \(В\), где модуль вектора \(А\) равен 3, модуль вектора \(В\) равен 5, и сумма модулей этих векторов неизвестна, необходимо использовать формулу для вычисления угла между векторами:
\[\cos{\theta} = \frac{{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}}{{|\mathbf{A}| \cdot |\mathbf{B}|}}\]

Где \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) - скалярное произведение векторов \(\mathbf{A}\) и \(\mathbf{B}\), а \(|\mathbf{A}|\) и \(|\mathbf{B}|\) - модули векторов.

Подставим значения в формулу:
\[\cos{\theta} = \frac{{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}}{{|\mathbf{A}| \cdot |\mathbf{B}|}} = \frac{{3 \cdot 5}}{{3 \cdot 5}} = 1\]

Таким образом, \(\cos{\theta} = 1\). Чтобы найти величину угла, нужно найти обратный косинус от этого значения:
\[\theta = \arccos{1} = 0\]

Таким образом, величина угла в параллелограмме \(ABCD\) равна 0 градусов. Обратите внимание, что такой угол означает, что вектора \(А\) и \(В\) лежат на одной прямой.