1. Какая угловая скорость будет через 2 секунды после начала движения, если уравнение вращения твердого тела задано

Для решения данных задач нам предоставлено уравнение вращения твердого тела: \(\phi = t^2 + 3t\) (рад), где \(\phi\) - угол поворота, а \(t\) - время.

1. Чтобы найти угловую скорость через 2 секунды после начала движения, нам необходимо найти производную уравнения по времени \(t\). Возьмем производную от уравнения:

\[\frac{{d\phi}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(t^2 + 3t)\]

Производная от \(t^2\) равна \(2t\), а производная от \(3t\) равна \(3\). Таким образом, уравнение принимает вид:

\[\frac{{d\phi}}{{dt}} = 2t + 3\]

Подставим \(t = 2\) в полученное выражение:

\[\frac{{d\phi}}{{dt}} = 2\cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7 \text{(рад/с)}\]

Таким образом, угловая скорость через 2 секунды после начала движения будет равна 7 рад/с.

2. Чтобы найти угловое ускорение через 2 секунды после начала движения, мы должны взять вторую производную уравнения по времени. Возьмем производную от \(\frac{{d\phi}}{{dt}}\):

\[\frac{{d^2\phi}}{{dt^2}} = \frac{{d}}{{dt}}(2t + 3)\]

Производная от \(2t\) равна \(2\), и производная от 3 равна \(0\). Таким образом, уравнение принимает вид:

\[\frac{{d^2\phi}}{{dt^2}} = 2\]

Таким образом, угловое ускорение через 2 секунды после начала движения будет постоянным и равным 2 (рад/с²).

3. Чтобы найти угловое перемещение через 2 секунды после начала движения, воспользуемся определением углового перемещения как разности между начальным и конечным углами. Подставим \(t = 2\) в уравнение:

\[\phi = (2^2 + 3\cdot 2) - (0^2 + 3\cdot 0) = 10 \text{ рад}\]

Таким образом, угловое перемещение через 2 секунды после начала движения составляет 10 рад.

4. Чтобы найти количество полных оборотов через 2 секунды после начала движения, необходимо разделить угловое перемещение на \(2\pi\) (полный оборот).

Количество полных оборотов будет:

\[\frac{{\phi}}{{2\pi}} = \frac{{10}}{{2\pi}} \approx 1.5915 \text{ оборотов}\]

Таким образом, через 2 секунды после начала движения количество полных оборотов будет примерно равно 1.5915 оборотов.