1. Какая угловая скорость будет через 2 секунды после начала движения, если уравнение вращения твердого тела задано

Для решения данных задач нам предоставлено уравнение вращения твердого тела: $\varphi =t^2+3t$ (рад), где $\varphi$ - угол поворота, а $t$ - время.

1. Чтобы найти угловую скорость через 2 секунды после начала движения, нам необходимо найти производную уравнения по времени $t$. Возьмем производную от уравнения:

$$\frac{d\varphi }{dt}=\frac{d}{dt}(t^2+3t)$$

Производная от $t^2$ равна $2t$, а производная от $3t$ равна $3$. Таким образом, уравнение принимает вид:

$$\frac{d\varphi }{dt}=2t+3$$

Подставим $t=2$ в полученное выражение:

$$\frac{d\varphi }{dt}=2\cdot 2+3=4+3=7\text{(рад/с)}$$

Таким образом, угловая скорость через 2 секунды после начала движения будет равна 7 рад/с.

2. Чтобы найти угловое ускорение через 2 секунды после начала движения, мы должны взять вторую производную уравнения по времени. Возьмем производную от $\frac{d\varphi }{dt}$:

$$\frac{d^2\varphi }{d{t}^2}=\frac{d}{dt}(2t+3)$$

Производная от $2t$ равна $2$, и производная от 3 равна $0$. Таким образом, уравнение принимает вид:

$$\frac{d^2\varphi }{d{t}^2}=2$$

Таким образом, угловое ускорение через 2 секунды после начала движения будет постоянным и равным 2 (рад/с²).

3. Чтобы найти угловое перемещение через 2 секунды после начала движения, воспользуемся определением углового перемещения как разности между начальным и конечным углами. Подставим $t=2$ в уравнение:

$$\varphi =(2^2+3\cdot 2)-(0^2+3\cdot 0)=10\text{ рад}$$

Таким образом, угловое перемещение через 2 секунды после начала движения составляет 10 рад.

4. Чтобы найти количество полных оборотов через 2 секунды после начала движения, необходимо разделить угловое перемещение на $2\pi$ (полный оборот).

Количество полных оборотов будет:

$$\frac{\varphi }{2\pi }=\frac{10}{2\pi }\approx 1.5915\text{ оборотов}$$

Таким образом, через 2 секунды после начала движения количество полных оборотов будет примерно равно 1.5915 оборотов.