1) Какая сторона треугольника, к которой проведена высота, если площадь треугольника равна 98 см², а высота равна

1) Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы для площади треугольника и свойств треугольника, при которых высота, проведенная к стороне, делит треугольник на две равные половины.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания и высоты, то есть:
\[S = \frac{1}{2} \times a \times h,\]
где S - площадь треугольника, a - основание треугольника, h - высота, проведенная к основанию.

В нашем случае площадь треугольника равна 98 см², а высота равна 14 см. Подставим эти значения в формулу и найдем основание треугольника:
\[98 = \frac{1}{2} \times a \times 14.\]

Чтобы найти основание, выразим его из этого уравнения:
\[a = \frac{2 \times 98}{14}.\]
Выполним вычисления:
\[a = \frac{196}{14} = 14.\]
Таким образом, основание треугольника равно 14 см.

2) Чтобы найти площадь прямоугольника, зная его диагональ и угол, который она образует с одной из сторон, воспользуемся знанием свойств прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна произведению его двух сторон, то есть:
\[S = a \times b,\]
где S - площадь прямоугольника, a и b - стороны прямоугольника.

Также, если диагональ прямоугольника и одна из его сторон образуют угол, равный 60 градусов, мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями чтобы выразить стороны прямоугольника через диагональ.

По теореме Пифагора, мы знаем, что для прямоугольного треугольника выполняется:
\[d^2 = a^2 + b^2,\]
где d - диагональ, a и b - стороны прямоугольника.

В нашем случае диагональ равна \(12\sqrt{3}\) см, а угол между диагональю и стороной равен 60 градусов. Мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями, чтобы найти значения сторон прямоугольника.

По формуле синуса, мы имеем:
\[\sin(60^\circ) = \frac{a}{d}.\]

Заменив \(d\) на \(12\sqrt{3}\), найдем значение стороны \(a\):
\[\sin(60^\circ) = \frac{a}{12\sqrt{3}}.\]

Выразим \(a\):
\[a = 12\sqrt{3} \times \sin(60^\circ).\]
Выполним вычисления:
\[a = 12\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 18.\]

Таким образом, одна из сторон прямоугольника равна 18 см.

Теперь мы можем найти вторую сторону, используя формулу теоремы Пифагора:
\[d^2 = a^2 + b^2.\]

Подставим вместо \(d\) значение \(12\sqrt{3}\), а вместо \(a\) значение 18 и найдем значение стороны \(b\):
\[(12\sqrt{3})^2 = 18^2 + b^2 .\]

Выполним вычисления:
\[36 \times 3 = 324 + b^2.\]
\[108 = 324 + b^2.\]
\[b^2 = 108 - 324.\]
\[b^2 = -216.\]

Так как у нас получилось отрицательное значение для \(b^2\), это означает, что такого прямоугольника не существует. Поэтому, площадь такого прямоугольника не может быть найдена.