1. Какая скорость у старшего и младшего брата, если их массы равны 60 и 30 кг соответственно, они находятся на легких

1. Для решения этой задачи нам понадобится закон сохранения импульса. По данному закону, сумма импульсов двух взаимодействующих тел остается постоянной во время взаимодействия, если на эти тела не действуют внешние силы. Импульс $p$ рассчитывается как произведение массы тела на его скорость.

Для начала, рассчитаем импульс каждого брата в начальный момент времени.

У старшего брата масса равна 60 кг, а пусть его скорость в начальный момент будет $v_1$. Тогда его импульс равен $p_1=m_1\cdot v_1=60\text{кг}\cdot v_1$.

У младшего брата масса равна 30 кг, а пусть его скорость в начальный момент будет $v_2$. Тогда его импульс равен $p_2=m_2\cdot v_2=30\text{кг}\cdot v_2$.

Поскольку они находятся на легких скейтбордах и тянут легкий канат за противоположные концы, значит, их скорости должны быть противоположными по направлению. Пусть скорость старшего брата будет положительной, а скорость младшего брата — отрицательной. Тогда импульс первого брата $p_1$ будет равен по модулю импульсу второго брата $p_2$.

Из закона сохранения импульса получаем уравнение:

$$m_1\cdot v_1=m_2\cdot v_2$$

Подставляем известные значения:

$$60\text{кг}\cdot v_1=30\text{кг}\cdot (-v_2)$$

Разделяем это уравнение на $30$:

$$2v_1=-v_2$$

Теперь мы знаем, что отношение скоростей $v_1$ и $v_2$ равно -2. То есть, скорость старшего брата в 2 раза больше по модулю, но противоположна по направлению, скорости младшего брата.

2. Когда выгон массой 60 т сталкивается с неподвижным вагоном массой 40 т, в этой системе действуют две силы — сила, с которой выгон давит на вагон, и сила трения между вагонами.

Для начала, рассмотрим движение без учета трения. Если на систему не действуют внешние силы, вследствие закона сохранения импульса сумма импульсов остается постоянной.

У выгона масса 60 т, а пусть его скорость до столкновения была $v_1$. Тогда его импульс до столкновения равен $p_1=m_1\cdot v_1=60\text{т}\cdot v_1$.

У неподвижного вагона масса 40 т, следовательно, его импульс до столкновения равен нулю, так как его скорость равна нулю.

Согласно закону сохранения импульса, импульс системы до и после столкновения остается неизменным. То есть,

$$60\text{т}\cdot v_1=0$$

Таким образом, скорость выгона до столкновения $v_1$ равна нулю.

Теперь рассмотрим ситуацию с учетом трения между вагонами. Когда выгон сталкивается с неподвижным вагоном, возникает сила трения $F_{\text{тр}}$ между ними. Сила трения направлена в противоположном направлении движения выгона.

Трение между вагонами играет роль при расчете конечной скорости системы после столкновения.

По второму закону Ньютона $F=ma$, где $F$ — сила, $m$ — масса, $a$ — ускорение. Мы можем переписать эту формулу для силы трения:

$$F_{\text{тр}}=\mu \cdot N$$

где $\mu$ — коэффициент трения между вагонами, $N$ — нормальная сила, направленная перпендикулярно поверхности контакта вагонов. В данном случае $N=mg$, где $g$ — ускорение свободного падения. Таким образом,

$$F_{\text{тр}}=\mu \cdot mg$$

Считая массы вагонов постоянными, разделим силу трения на массу вагонов, чтобы получить ускорение:

$$a_{\text{тр}}=\frac{\mu \cdot mg}{m_{\text{ваг}}}$$

Теперь мы можем использовать уравнение движения для расчета финальной скорости системы после столкновения. Уравнение движения считает изменение скорости как произведение ускорения на время:

$$v_2=v_1+a_{\text{тр}}\cdot t$$

Поскольку начальная скорость $v_1$ равна нулю, уравнение принимает вид:

$$v_2=a_{\text{тр}}\cdot t$$

То есть скорость системы после столкновения будет равна произведению ускорения на время.

3. Чтобы решить эту задачу, рассмотрим закон сохранения импульса.

В начальный момент времени у тележки массой 100 кг скорость равна 3 м/с. Груз массой 50 кг падает на тележку вертикально. Предположим, что после падения груз останется на тележке.

Пусть скорость тележки после падения груза будет $v_2$. Тогда импульс тележки до падения груза равен $p_1=m_1\cdot v_1$, где $m_1$ — масса тележки поступательного движения, а $v_1$ — ее скорость до падения груза.

Импульс груза равен $p_2=m_2\cdot v_2$, где $m_2$ — масса падающего груза, а $v_2$ — скорость тележки после падения груза.

Поскольку вертикальное падение груза не оказывает влияния на тележку по горизонтали, горизонтальный импульс системы должен оставаться неизменным. То есть,

$$m_1\cdot v_1=(m_1+m_2)\cdot v_2$$

Подставим известные значения:

$$100\text{кг}\cdot 3\text{м/с}=(100\text{кг}+50\text{кг})\cdot v_2$$

$$300\text{кг}\cdot \text{м/с}=150\text{кг}\cdot v_2$$

Разделим обе части уравнения на $150\text{кг}$:

$$v_2=\frac{300\text{кг}\cdot \text{м/с}}{150\text{кг}}$$

$$v_2=2\text{м/с}$$

Таким образом, скорость тележки после падения груза составляет 2 м/с. Изменение скорости равно разности финальной и начальной скоростей:

$$\mathrm{\Delta }v=v_2-v_1=2\text{м/с}-3\text{м/с}=-1\text{м/с}$$

Тележка будет двигаться со скоростью -1 м/с (в отрицательном направлении) после падения груза.