1) Какая скорость у каждого бегуна, если они выбегают навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми

Конечно, я помогу вам с этими задачами.

1) Давайте начнем с первой задачи о бегунах.

Пусть скорость первого бегуна будет \(v_1\) км/ч, а скорость второго бегуна будет \(v_2\) км/ч. Мы знаем, что сумма их скоростей равна 16,5 км/ч, поэтому у нас есть уравнение:

\[v_1 + v_2 = 16,5\]

Также нам дано, что первый бегун выбегает на полчаса раньше второго. Поскольку время равно расстоянию поделенному на скорость, мы можем записать следующее:

Время первого бегуна = \(\frac{{45}}{{v_1}}\)
Время второго бегуна = \(\frac{{45}}{{v_2}} - 0,5\) (так как первый бегун выбегает на полчаса раньше)

Теперь нам известно, что через 2,5 часа после выбега второго бегуна они встречаются. Мы можем записать следующее:

Время первого бегуна + 2,5 = Время второго бегуна

\(\frac{{45}}{{v_1}} + 2,5 = \frac{{45}}{{v_2}} - 0,5\)

Теперь у нас есть два уравнения, которые мы можем решить вместе:

\[\begin{align*}
v_1 + v_2 &= 16,5 \\
\frac{{45}}{{v_1}} + 2,5 &= \frac{{45}}{{v_2}} - 0,5
\end{align*}\]

Мы можем решить второе уравнение относительно \(v_1\), чтобы выразить его через \(v_2\):

\[\frac{{45}}{{v_1}} = \frac{{45}}{{v_2}} - 3\]

\[\frac{{1}}{{v_1}} = \frac{{1}}{{v_2}} - \frac{{3}}{{45}}\]

Теперь мы можем заменить \(v_1\) в первом уравнении:

\[\frac{{1}}{{\frac{{1}}{{v_2}} - \frac{{3}}{{45}}}} + v_2 = 16,5\]

После решения этого уравнения, мы найдем значения \(v_1\) и \(v_2\), и затем мы можем вычислить произведение скоростей \(v_1 \times v_2\).

2) Прекрасно, перейдем ко второй задаче о неравенстве.

Мы должны определить количество целых решений неравенства \(x(x+2)^2 \sqrt{x+4} \geq 0\) на интервале [-5; 4].

Чтобы решить это, мы можем использовать таблицу интервалов:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Интервал} & x(x+2)^2 & \sqrt{x+4} & x(x+2)^2 \sqrt{x+4} \\
\hline
(-\infty, -4) & - & - & + \\
(-4, -2) & - & + & - \\
(-2, 0) & + & + & + \\
(0, 4) & + & + & + \\
(4, +\infty) & + & + & + \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что неравенство выполняется для всех \(x\) из интервалов (-\infty, -4), (-2, 0) и (0, 4).

Наконец, мы можем посчитать количество целых чисел в этих интервалах. В интервале (-\infty, -4) нет целых чисел. В интервале (-2, 0) у нас есть одно целое число, а именно -1. В интервале (0, 4) у нас есть три целых числа: 1, 2 и 3.

Таким образом, количество целых решений неравенства равно 4.

3) Продолжаем с третьей задачей о прямоугольном треугольнике.

Мы знаем, что биссектриса и высота, опущенные из вершины прямого угла, равны 5. Давайте обозначим катеты треугольника через \(a\) и \(b\).

Так как биссектриса и высота равны 5, мы можем записать следующие уравнения:

\[\frac{{ab}}{{a+b}} = 5\]
\[2ab = 5(a+b)\]

Раскроем скобки во втором уравнении:

\[2ab = 5a + 5b\]

Поделим оба уравнения на \(ab\):

\[\frac{{2}}{a} + \frac{{2}}{b} = \frac{{5}}{a} + \frac{{5}}{b}\]

\[2(\frac{{1}}{a} + \frac{{1}}{b}) = 5(\frac{{1}}{a} + \frac{{1}}{b})\]

Из этого уравнения мы можем заключить, что \(\frac{{1}}{a} + \frac{{1}}{b} = 0\), так как у нас не может быть трех чисел, для которых выполняется \(2x = 5x\), кроме случая, когда \(x = 0\).

Теперь мы можем решить это уравнение:

\[\frac{{1}}{a} + \frac{{1}}{b} = 0\]

Умножим оба члена уравнения на \(ab\):

\[b + a = 0\]

\[b = -a\]

Так как \(b\) является катетом треугольника, а \(a\) - другим катетом, которые не могут быть отрицательными, мы опускаем решение, где \(a\) и \(b\) отрицательны.

Итак, мы можем сделать вывод, что катеты треугольника равны -5 и 5. Но мы знаем, что длина сторон треугольника не может быть отрицательной, поэтому мы отбрасываем это решение.

Таким образом, нет решений для данной задачи.