1. Какая из предложенных логических функций является всегда ложной? а) ¬ A ↔ ¬ B б) ¬ (A → (B → A)) в) ¬ A → A ∧ B

1. Для решения данной задачи нам необходимо рассмотреть каждую из предложенных логических функций и проверить, когда они становятся ложными.

а) Функция ¬A ↔ ¬B. Для определения, когда эта функция является ложной, мы должны проверить, когда ее значения в истинности противоречат. Раскрывая импликацию и двойное отрицание, получаем A ↔ B. Таким образом, эта функция будет всегда истинной, а не ложной.

б) Функция ¬(A → (B → A)). Чтобы показать, что эта функция является ложной, нужно найти значения переменных A и B, при которых выражение принимает значение False. Если воспользуемся таблицей истинности, заметим, что данное выражение всегда истинно.

в) Функция ¬A → A ∧ B. В этом случае, если ¬A истинно, то выражение будет всегда ложным, так как A ∧ B не может быть истинным при ложности A. Таким образом, эта функция будет всегда ложной.

г) Функция ¬A → ¬B. В данном случае, эта функция будет всегда истинной. Если A является ложным (¬A истинно), то ¬B также будет ложным, и условие будет выполняться.

Итак, из всех предложенных логических функций, только функция из пункта б) ¬(A → (B → A)) является всегда ложной.

2. Давайте посчитаем количество различных решений для уравнения ¬M ∧ K ∧ ¬N ∧ ¬J ∧ (L ∨ ¬L) = 0, где J, K, L, M - логические переменные.

Раскроем скобки:
¬M ∧ K ∧ ¬N ∧ ¬J ∧ (L ∨ ¬L) = 0

Поскольку L ∨ ¬L всегда истинно, у нас остаются:
¬M ∧ K ∧ ¬N ∧ ¬J = 0

Теперь посмотрим на каждое из условий по отдельности:
¬M = 0, K = 0, ¬N = 0, ¬J = 0

У нас есть 2 возможных значений для каждой из переменных - либо 0 (ложь), либо 1 (истина). Поскольку у нас 4 переменных, то общее количество различных решений будет равно 2 * 2 * 2 * 2 = 16.

Таким образом, существует 16 различных решений для данного уравнения.

3. Для решения данной задачи необходимо найти наибольшее целое положительное число Х, удовлетворяющее условию (X • (X + 1) > 55) → (X • X > 50).

Вначале рассмотрим левую часть условия (X • (X + 1) > 55). Чтобы найти значения X, при которых это выражение истинно, мы можем решить неравенство:
X • (X + 1) > 55

Раскроем скобки и перенесем все элементы в одну часть неравенства:
X^2 + X - 55 > 0

Теперь найдем значения X, для которых это квадратное уравнение больше нуля. Построим график данного уравнения:

\[
\begin{align*}
X^2 + X - 55 &> 0 \\
(X + 11)(X - 5) &> 0
\end{align*}
\]

Мы видим, что график данного уравнения будет иметь вершину в точке X = -11 и перегиб в точке X = 5. Когда X < -11 или X > 5, выражение X^2 + X - 55 будет положительным. Однако нам нужно найти наибольшее положительное целое число Х, поэтому выбираем X = 5.

Теперь рассмотрим правую часть условия (X • X > 50). Подставим найденное значение X = 5 в данное выражение:
5 • 5 > 50

25 > 50

Это выражение является ложным. Таким образом, наше начальное предположение (X • (X + 1) > 55) → (X • X > 50) не выполняется для X = 5.

Поэтому наибольшее целое положительное число Х, удовлетворяющее данному условию, не существует.

4. Если A = 45 и B = 18, то нам нужно найти значение переменной C, при котором выражение (C < A ∨ C < B) ∧ ¬ (C+1 < A) ∧ ¬ (C+1 < B) будет истинным.

Раскроем скобки и заменим значения переменных:
(C < 45 ∨ C < 18) ∧ ¬ (C+1 < 45) ∧ ¬ (C+1 < 18)

Упростим это выражение:
(C < 45 ∨ C < 18) ∧ ¬ (C < 44) ∧ ¬ (C < 17)

Рассмотрим каждое из условий по отдельности:

1) (C < 45 ∨ C < 18): здесь нам нужно найти значение C, при котором хотя бы одно из условий выполняется. Поскольку условие C < 18 будет истинно для целого диапазона значений, то нам необходимо найти такое значение C, при котором C < 45 и C < 18. Это значит, что C должно быть меньше обоих чисел 45 и 18, а значит C должно быть меньше 18.

2) ¬ (C < 44): обратное условие C < 44 - это C ≥ 44.

3) ¬ (C < 17): обратное условие C < 17 - это C ≥ 17.

Теперь объединим все условия:
C < 18 ∧ C ≥ 44 ∧ C ≥ 17

Очевидно, что нет такого значения C, которое бы одновременно удовлетворяло всем этим условиям. Для любого значения C, при котором C < 18, не выполнится условие C ≥ 44, и наоборот. Поэтому невозможно найти такое значение C, чтобы все выражение (C < A ∨ C < B) ∧ ¬ (C+1 < A) ∧ ¬ (C+1 < B) было истинным при A = 45 и B = 18.